UA MATH571B 試驗設計 Quarter 2-level析因設計

• • $2^{k?2}$設計的基本概念
  • $2^{k?2}$試驗結果的SAS分析

Quarter 2-level析因設計需要的試驗單位比Half 2-level析因設計還要少一半，適用于試驗資源更加有限的情況，它的分析方法也與Half 2-level析因設計類似。

$2^{k?2}$設計的基本概念

與$2^{k?1}$設計通過defining relation決定alias從而確定試驗的factor的思路一致，$2^{k?2}$設計也需要類似的工具，但這種工具被稱為generating ralations。假設$P$和$Q$是generator，則generating ralations是$$I=P,I=Q$$

稱$PQ$為generalized interaction，$I=P=Q=PQ$為complete defining relation，根據complete defining relation可以比較簡單地寫出所有的alias。

例1 寫出generating relations為$I=ABD,I=BCE$的$2^{5?2}$ 設計的所有alias。

第一步，寫出complete defining relation：
$$\begin{gathered} P=ABD,Q=ACE?PQ=A^{2}BCDE=BCDE \\ ?I=ABD=ACE=BCDE \end{gathered}$$

第二步，根據complete defining relation寫出alias。根據complete defining relation可以判斷出這一個resolution III的$2^{5?2}$ 設計，所有的main effect都不會互為alias，于是在第一列的2-6行可以填入A-E，每一行中各列可以填入行首與第一行對應列的word的乘積。這樣就只剩下最后兩行了，兩個letter的word應該有$C_5^2=10$個，現在已經用了6個，說明還有四個，這四個是BC、BE、CD、DE，根據$I=BCDE$，可以看出BC、DE互為alias，BE、CD互為alias，根據這個觀察完成表格：

IABDACEBCDE

A	BD	CE	ABCDE
B	AD	ABCE	CDE
C	ABCD	AE	BDE
D	AB	ACDE	BCE
E	ABDE	AC	BCD
BC	ACD	ABE	DE
BE	ADE	ABC	CD

$2^{k?2}$試驗結果的SAS分析

上表是一個unreplicated $2_{IV}^{6?2}$ design的試驗結果，complete defining relation是
$$I=ABCE=BCDF=ADEF$$

下面列出它的alias

IABCEBCDFADEF

A	BCE	ABCDF	DEF
B	ACE	CDF	ABDEF
C	ABE	BDF	ACDEF
D	ABCDE	BCF	AEF
E	ABC	BCDEF	ADF
F	ABCEF	BCD	ADE
AB	CE	ACDF	BDEF
AC	BE	ABDF	CDEF
AE	BC	ABCDEF	DF
BD	ACDE	CF	ABEF
BF	ACEF	CD	ABDE
AD	BCDE	ABCF	EF
AF	BCEF	ABCD	DE
ABD	CDE	ACF	BEF
ABF	CEF	ACD	BDE

下面用SAS做分析：

第一步 錄入數據

data ex2; do D = -1 to 1 by 2; do C = -1 to 1 by 2; do B = -1 to 1 by 2; do A = -1 to 1 by 2; E = A*B*C; F = B*C*D; input y @@; output; end; end; end; end; datalines; 6 10 32 60 4 15 26 60 8 12 34 60 16 5 37 52 ;proc print data = ex2; run;

第二步 定義交互項
注意定義交互項時有幾個原則：

從letter數少的word開始；

按standard order定義；

每一行互為alias的word中只能取一個；

按照這個原則我們選取第一列的所有word，

data inter; set ex2; AB = A*B; AC = A*C; AD = A*D; AE = A*E; AF = A*F; BD = B*D; BF = B*F; ABD = A*BD; ABF = A*BF; run;proc print data = inter; run;

第三步 估計每個word的effect（glm method）

proc glm data=inter; class A B C D E F AB AC AD AE AF BD BF ABD ABF; model y=A B C D E F AB AC AD AE AF BD BF ABD ABF; estimate 'A' A -1 1; estimate 'B' B -1 1; estimate 'C' C -1 1; estimate 'D' D -1 1; estimate 'E' E -1 1; estimate 'F' F -1 1; estimate 'AB' AB -1 1; estimate 'AC' AC -1 1; estimate 'AD' AD -1 1; estimate 'AE' AE -1 1; estimate 'AF' AF -1 1; estimate 'BD' BD -1 1; estimate 'BF' BF -1 1; estimate 'ABD' ABD -1 1; estimate 'ABF' ABF -1 1; run;

根據這個表基本可以判斷A、B、AB是顯著的。

第四步 用Normal Probability Plot進一步驗證第三步的結果

proc reg outest=effect1 data = inter; model y = A B C D E F AB AC AD AE AF BD BF ABD ABF; run;data effect2; set effect1; drop y intercept _RMSE_; run;proc transpose data = effect2 out = effect3; run;data effect4; set effect3; effect = col1*2; run;proc sort data = effect4; by effect; run;proc transpose data = effect4 out = effect40; run;data effect5; set effect4; where _NAME_ ^= 'block'; run;proc print data = effect5; run;proc rank data = effect5 normal = blom; var effect; ranks neff; symbol1 v = circle;proc gplot; plot effect*neff = _NAME_; run;

顯然A、B、AB的確是顯著的！

第五步 分析只含顯著的word的refined model

proc glm data = inter alpha = 0.05; class A B AB; model y = A|B; run;

ANOVA的結果說明A、B、AB顯著。

proc reg outest=effect data = inter; model y = A B AB; run;

回歸分析的結果為
$$y=27.3125+6.9375A+17.8125B+5.9375AB$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH571B 试验设计 Quarter 2-level析因设计的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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