組合恒等式7 組合變換的互逆公式

• • 雙重求和可以交換次序
  • 互逆公式的證明
  • 應用互逆公式證明組合恒等式

類似離散序列的Z變換，我們也可以定義以組合數為系數的組合變換，一個直觀的例子是
$$b_k=\sum _{i=0}^k(?1{)}^i{C}_k^i{a}_i$$

$b_k$就是關于$a_k$的一個組合變換，這個組合變換有一個很重要的性質，就是
$$a_k=\sum _{i=0}^k(?1{)}^i{C}_k^i{b}_i$$

也就是對$b_k$再做一次組合變換就又變回$a_k$了，稱這樣的一對組合變換叫做組合變換的互逆公式，基于這種組合變換的互逆公式，可以從現有的組合恒等式得到更多的組合恒等式，這一講就以證明這對互逆公式作為開始。

雙重求和可以交換次序

二重積分計算有一個Fubini定理，告訴我們二重積分可以交換積分次序，在離散領域，雙重求和也具有類似的性質。考慮二重求和
$$S=\sum _{k=0}^n\sum _{l=0}^k{x}_{kl}$$

這個求和可以理解成對矩陣$[x_{kl}{]}_{(n+1)\times (n+1)}$的下三角部分所有元素求和，其中${\sum }_{l=0}^k{x}_{kl}$表示第$k+1$行的和；當然還有另一種寫法，我們也可以先寫出第$l$列的和${\sum }_{k=l}^n{x}_{kl}$，則
$$S=\sum _{l=0}^n\sum _{k=l}^n{x}_{kl}$$

這樣就得到了雙重求和可以交換次序的結論：
$$\sum _{k=0}^n\sum _{l=0}^k{x}_{kl}=\sum _{l=0}^n\sum _{k=l}^n{x}_{kl}$$

互逆公式的證明

計算
$$\begin{gathered} \sum _{i=0}^k(?1{)}^i{C}_k^i{b}_k=\sum _{i=0}^k(?1{)}^i{C}_k^i\left(\sum _{j=0}^i(?1{)}^j{C}_i^j{a}_j\right)=\sum _{i=0}^k\sum _{j=0}^i(?1{)}^{i+j}{C}_k^i{C}_i^j{a}_j \\ =\sum _{j=0}^k\sum _{i=j}^k(?1{)}^{i+j}{C}_k^i{C}_i^j{a}_j=\sum _{j=0}^k(?1{)}^j{a}_j\sum _{i=j}^n(?1{)}^i{C}_k^i{C}_i^j \end{gathered}$$

根據組合恒等式1 五個基本的組合恒等式 基礎與簡單例子例三的結果，
$$\sum _{i=j}^n(?1{)}^i{C}_k^i{C}_i^j=(?1{)}^j{\delta }_{kj}$$

因此
$$\sum _{i=0}^k(?1{)}^i{C}_k^i{b}_k=\sum _{j=0}^k{\delta }_{kj}{a}_j=a_k$$

應用互逆公式證明組合恒等式

例1 ${\sum }_{k=1}^n(?1{)}^k{C}_n^k\left(1+\frac{1}{2}+?+\frac{1}{k}\right)=?\frac{1}{n}$
證明
在組合恒等式1 五個基本的組合恒等式 基礎與簡單例子例五中，我們證明了
$$\sum _{i=1}^n(?1{)}^{i+1}{C}_n^i\frac{1}{i}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}$$

把這個式子看成組合變換的結果，即
$$\sum _{i=1}^n(?1{)}^i{C}_n^i\frac{?1}{i}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}$$

根據互逆公式
$$\sum _{i=1}^n(?1{)}^i{C}_n^i\left(1+\frac{1}{2}+?+\frac{1}{i}\right)=?\frac{1}{n}$$

例2 ${\sum }_{k=1}^n(?1{)}^k{C}_n^k\left(x+\frac{x^2}{2}+?+\frac{x^k}{k}\right)=?\frac{1}{n}[1?(1?x{)}^n]$
證明
顯然例2是例1的推廣，等式左邊的式子是個雙重求和比較復雜，可以用證明這個恒等式的互逆公式的辦法證明它，也就是證明

$$\sum _{k=1}^n(?1{)}^{k+1}{C}_n^k\frac{1}{k}[1?(1?x{)}^k]=\left(x+\frac{x^2}{2}+?+\frac{x^n}{n}\right)$$

左邊的式子可以寫成
$$\sum _{k=1}^n(?1{)}^{k+1}{C}_n^k\frac{1}{k}?\sum _{k=1}^n(?1{)}^{k+1}{C}_n^k\frac{1}{k}(1?x{)}^k?a_n?b_n$$

根據上例，
$$a_n=\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}$$

所以只需要處理$b_n$即可，用楊輝三角裂項，
$$b_n=\sum _{k=1}^n(?1{)}^{k+1}{C}_n^k\frac{1}{k}(1?x{)}^k=\sum _{k=1}^n(?1{)}^{k+1}(C_n^{k?1}+C_{n?1}^{k?1})\frac{1}{k}(1?x{)}^k$$

其中$C_{n?1}^{k?1}/k=C_n^k/n$，對第二項用二項式定理
$$\begin{gathered} b_n=\sum _{k=1}^n(?1{)}^{k+1}{C}_n^{k?1}\frac{1}{k}(1?x{)}^k+\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(?1{)}^{k+1}{C}_n^k(1?x{)}^k \\ =b_{n?1}+\frac{1}{n}(1?x^n) \end{gathered}$$

基于這個遞推公式可以得到
$$b_n=\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}?\left(x+\frac{x^2}{2}+?+\frac{x^n}{n}\right)$$

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的组合恒等式7 组合变换的互逆公式 简介与简单例子的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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