UA SIE545 優化理論基礎0 優化建模6 罐頭的尺寸設計

我們的目標是設計一種罐頭，這種罐頭產品按件出售，一件12個罐頭，按3行一行四個的形式排列，同時有以下信息：

$V_0$：罐頭的最小容積（忽略厚度）；

$D_0$：一件罐頭的最大邊長；

$c_1,c_2$: 罐頭材料與一件罐頭的包裝材料的單位價格

考慮圓柱體罐頭，假設底面半徑為$r$，高為$h$；一件罐頭用一個長方體盒子包裝，長方體的長為$8r$、寬為$6r$、高為$h$。用$S_1$表示罐頭表面積，則
$$S_1=12(2\pi r^2+2\pi rh)$$

用$S_2$表示包裝的表面積，則
$$S_2=96r^2+28rh$$

因此總成本為
$$C(r,h)=c_1{S}_1+c_2{S}_2=24\pi r{c}_1(r+h)+2r{c}_2(48r+14h)$$

這就是我們的目標函數，我們想要最小化材料總成本。另外，對于尺寸參數還有下面的約束：
$$\begin{gathered} \pi r^{2}h\ge V_0 \\ 8r\le D_0 \\ 6r\le D_0 \\ h\le D_0 \\ r,h\ge 0 \end{gathered}$$

由此我們可以寫出罐頭尺寸設計的優化模型：
$$\begin{gathered} \underset{r,h}{\min }24\pi r{c}_1(r+h)+2r{c}_2(48r+14h) \\ s.t.\pi r^{2}h\ge V_0 \\ 8r\le D_0 \\ h\le D_0 \\ r,h\ge 0 \end{gathered}$$

其中$C(r,h)$是目標函數，$r,h$是決策變量，$\pi r^{2}h\ge V_0,8r\le D_0,h\le D_0,r,h\ge 0$是不等式約束，記$F$表示可行域（feasible region），這個問題的可行域為
$$F=\{(r,h):\pi r^{2}h\ge V_0,8r\le D_0,h\le D_0,r,h\ge 0\}$$

這個可行域是凸集，因此這個是一個凸優化。只有兩個決策變量時可以用圖解法、也可以用Kuhn-Tucker定理求解。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA SIE545 优化理论基础0 优化建模6 罐头的尺寸设计的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。