UA SIE545 優(yōu)化理論基礎(chǔ)0 優(yōu)化建模6 罐頭的尺寸設(shè)計(jì)

我們的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一種罐頭，這種罐頭產(chǎn)品按件出售，一件12個(gè)罐頭，按3行一行四個(gè)的形式排列，同時(shí)有以下信息：

$V_0$：罐頭的最小容積（忽略厚度）；

$D_0$：一件罐頭的最大邊長(zhǎng)；

$c_1,c_2$: 罐頭材料與一件罐頭的包裝材料的單位價(jià)格

考慮圓柱體罐頭，假設(shè)底面半徑為$r$，高為$h$；一件罐頭用一個(gè)長(zhǎng)方體盒子包裝，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為$8r$、寬為$6r$、高為$h$。用$S_1$表示罐頭表面積，則
$$S_1=12(2\pi r^2+2\pi rh)$$

用$S_2$表示包裝的表面積，則
$$S_2=96r^2+28rh$$

因此總成本為
$$C(r,h)=c_1{S}_1+c_2{S}_2=24\pi r{c}_1(r+h)+2r{c}_2(48r+14h)$$

這就是我們的目標(biāo)函數(shù)，我們想要最小化材料總成本。另外，對(duì)于尺寸參數(shù)還有下面的約束：
$$\begin{gathered} \pi r^{2}h\ge V_0 \\ 8r\le D_0 \\ 6r\le D_0 \\ h\le D_0 \\ r,h\ge 0 \end{gathered}$$

由此我們可以寫(xiě)出罐頭尺寸設(shè)計(jì)的優(yōu)化模型：
$$\begin{gathered} \underset{r,h}{\min }24\pi r{c}_1(r+h)+2r{c}_2(48r+14h) \\ s.t.\pi r^{2}h\ge V_0 \\ 8r\le D_0 \\ h\le D_0 \\ r,h\ge 0 \end{gathered}$$

其中$C(r,h)$是目標(biāo)函數(shù)，$r,h$是決策變量，$\pi r^{2}h\ge V_0,8r\le D_0,h\le D_0,r,h\ge 0$是不等式約束，記$F$表示可行域（feasible region），這個(gè)問(wèn)題的可行域?yàn)?br /> $$F=\{(r,h):\pi r^{2}h\ge V_0,8r\le D_0,h\le D_0,r,h\ge 0\}$$

這個(gè)可行域是凸集，因此這個(gè)是一個(gè)凸優(yōu)化。只有兩個(gè)決策變量時(shí)可以用圖解法、也可以用Kuhn-Tucker定理求解。

總結(jié)

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