UA MATH523A 實分析1 集合論基礎6 一些點集拓撲基本概念

• • • 拓撲空間
    • 內部、邊界、閉包
    • 連續性
    • 緊性

拓撲空間

非空集合$X$，$?p\in X$，$?{\mathcal{U}}_p$是$X$的子集構成的集族，其中的元素是$p$的鄰域，如果

$|{\mathcal{U}}_p|\ge 1$

$?U\in {\mathcal{U}}_p$, $p\in U$

$?U_1,U_2\in {\mathcal{U}}_p$, $?U_3\in {\mathcal{U}}_p$, $U_3?U_1\cap U_2$

$?U\in {\mathcal{U}}_p$, $?q\in U$, $?V\in {\mathcal{U}}_q$, $V?U$

則稱$\tau =\{{\mathcal{U}}_p:?p\in X\}$為$X$上的一個拓撲，$(X,\tau )$是一個拓撲空間。

一般介紹拓撲空間會用下面的定義，而上面的定義是拓撲的性質，但實際上它們是等價的：稱$(X,\tau )$為拓撲空間，$\tau$為$X$上的拓撲，如果

$X,?\in \tau$

$?U,V\in \tau$, $U\cup V\in \tau$

$?U_{\sigma }\in \tau ,\sigma \in I$, ${?}_{\sigma \in I}{U}_{\sigma }\in \tau$

稱$\tau$中的元素為開集。

內部、邊界、閉包

基于拓撲的定義，我們進一步定義內部、邊界、閉包等概念。考慮$A?X$，
內點：$?x\in X$, 如果$?U_x\in \tau$, $x\in U_x$, $U_x?A$，則$x$是$A$的內點；
外點：$?x\in X$, 如果$?U_x\in \tau$, $x\in U_x$, $U_x?A^C$，則$x$是$A$的外點；
邊界點：$?x\in X$, 如果$?U_x\in \tau$, $x\in U_x$, $U_x\cap A=?$, $U_x\cap A^C=?$，則$x$是$A$的邊界點；
聚點 ：$?x\in X$, 如果$?U_x\in \tau$, $x\in U_x$, $|(U_x?\{x\})\cap A|>0$
孤立點 ：$?x\in X$, 如果$?U_x\in \tau$, $x\in U_x$, $|(U_x?\{x\})\cap A|=0$

開集 $A$中的所有點都是$A$的內點，則$A$是開集；
閉集 $A^C$是開集，則$A$是閉集；

內部 $?A?X$, $A$的內部表示$A$包含的最大的開集，或者$A$的所有內點構成的集合，記為$int(A)$
邊界 $A$的所有邊界點的集合，記為$?A$
閉包 $A$的內部與邊界點的集合，記為$\bar{A}$，表示包含$A$的最小閉集
導集 $A$的聚點的集合，記為$A^{\prime }$

連續性

現在考慮定義在拓撲空間上的函數，假設$f:(S,{\tau }_1)\to (T,{\tau }_2)$，
連續 考慮$p_0\in S$, $?V\in {\tau }_2$, $f(p_0)\in V$, $?U\in {\tau }_1,p_0\in U$, $f(U)?V$，則稱$f$在$p_0$處連續。如果$?p_0\in S$，$f$在$p_0$處連續，則稱$f$在$S$上連續。關于連續性有一些有用的性質：

$f$在$S$上連續$?$ $?B\in {\tau }_2$, $f^{?1}(B)\in {\tau }_1$，即任何開集的拉回也是開集

$f$在$S$上連續$?$ $?B^C\in {\tau }_2$, $(f^{?1}(B){)}^C\in {\tau }_1$，即任何閉集的拉回也是閉集

同胚 如果$f$與$f^{?1}$都是連續的，則稱$f$是同胚，稱$S,T$是同胚的拓撲空間。

緊性

開覆蓋 $A?X$, $\mathcal{U}$是$X$的子集系，$?p\in A$, $?U\in \mathcal{U}$, $p\in U$，則稱$\mathcal{U}$是$A$的覆蓋。如果$\mathcal{U}$中的元素都是開集，則稱之為開覆蓋。

有限子覆蓋 假設$?A_1,?,A_m\in \mathcal{U}$, $A?{?}_{i=1}^m{U}_i$，則稱$A_1,?,A_m$是一組有限子（開）覆蓋。

緊集 $A$是緊集，如果$A$的任何開覆蓋都有有限子覆蓋，它有兩個重要的性質：

${\mathbb{R}}^n$中的有界閉集是緊集；

$f$是$A$上的連續函數，$A$是緊集，則$f(A)$是緊集；

總結

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