UA SIE545 優化理論基礎5 搜索與整數規劃1 DFS算法

• DFS方法基礎
• 郵票問題

這部分的主要目標是建立求解整數規劃的方法，早期解決整數規劃需要窮舉，后來人們把搜索技術應用到整數規劃中，極大地提高了整數規劃求解地效率，最常被用到的兩種技術是DFS和分支定界，所以這部分就從這兩種技術開始介紹，然后討論怎么用來解決整數規劃問題。

DFS方法基礎

DFS全稱是Depth First Search，也就是深度優先搜索。這個算法思路很簡單，就是莽就完了，但莽的時候要記錄莽過的路徑，下一個位置不符合要求就可以退回來重新莽。下面用一個簡單的例子說明，假設在一個$4\times 4$的棋盤上要放四個棋子，每兩個棋子不能位于同一行同一列同一對角線，要計算所有的放法。

首先討論一下窮舉法，在$4\times 4$的棋盤上放四個棋子的放法一共有$4^4=256$種，因此用窮舉法需要對256種可能性進行判斷。（如果我是隨便做做估計就窮舉了，畢竟不用動腦筋而且運算量也不大）但顯然用窮舉來做估計是拿不到分的，我們要根據題目的限制條件來做搜索。

簡單闡述一下DFS解決這個問題的思想。假設第一個棋子放在第一行，第二個放在第二行，以此類推，用$i,j,k,l$表示第1-4行的棋子的位置。第一步，考慮$(1,j,k,l)$:

OXXX

X	X
X		X
X			X

O代表對應位置放上了棋子，X代表對應位置不能再放棋子了。從這個圖可以看出，$i=1$，也就是第一個棋子放在第一行第一個位置以后，第二個棋子只能在$j=3,4$的位置，假設優先搜索靠左的位置，接下來我們考慮$(1,3,k,l)$：

OXXX

X	X	O	X
X		X
X		X	X

現在放第三個棋子，顯然它只能在$k=2,4$的位置，接下來就考慮$(1,3,2,l)$:

OXXX

X	X	O	X
X	O	X	X
X	X	X	X

于是路就走不通了，第四個棋子沒位置了，那么我們退回去，考慮$(1,3,4,l)$:

OXXX

X	X	O	X
X	X	X	O
X		X	X

最后剩下$l=2$這個位置，它是符合要求的，那么$(1,3,4,2)$就構成了第一條通路。現在我們記錄下通路的信息，然后回到第二個棋子處，考慮$(1,4,k,l)$:

OXXX

X	X	X	O
X		X	X
X			X

第三個棋子沒得選，那就放在第二個位置

OXXX

X	X	X	O
X	O	X	X
X	X		X

最后第四個棋子只能放在第三個位置，因此$(1,4,2,3)$構成了第二條通路。這樣我們就完成了$i=1$的所有搜索，下面的步驟就是對$i=2,3,4$做同樣的搜索。

郵票問題

郵局發行了一套有$n$種不同面值的郵票，記面值為$(S_1,?,S_n)$（$S_i<S_{i?1}$），每個信封最多能貼$m$張郵票，為了保證這套郵票可以貼出$(1,2,?,N)$這些面值，請問面值應該怎么設計？

假設$r$是一個自然數，如果它是能被這套郵票表示的面值，那么$?\{t_1,?,t_n\}?\mathbb{N}$,
$$r=\sum _{i=1}^n{t}_i{S}_i,\sum _{i=1}^n{t}_i\le m$$

這個問題的輸入是$n,m$，輸出是$(S_1,?,S_n)$以及$N$，要實現的是
$$\begin{gathered} \underset{S_1,?,S_N}{\max }N \\ s.t.r=\sum _{i=1}^n{t}_i{S}_i,\sum _{i=1}^n{t}_i\le m \\ 1\le r\le N \end{gathered}$$

這是一個典型的整數規劃問題，下面我們簡單討論一下怎么用DFS的思想解這個問題。先考慮搜素范圍，顯然
$$1=S_1<S_2<S_3<?<S_n\le N$$

在搜索$S_i$的可能取值時，要保證$S_i$不會大于能用前$i?1$個面值的郵票連續表示的最大整數，記為$Int(S_1,?,S_{i?1})$，也就是
$$S_{i?1}<S_i\le Int(S_1,?,S_{i?1})$$

按這個記號，$N=Int(S_1,?,S_n)$。下面以$n=5$,$m=3$為例說明一下搜索過程：

$S_1=1$, $m=3?Int(S_1)=3$，因此$S_2\in \{2,3\}$，假設更小的數被優先搜索，下面考慮$S_2=2$；

$Int(S_1,S_2)=6$，因此$S_3\in \{3,4,5,6\}$，下一步考慮$S_3=3$

$Int(S_1,S_2,S_3)=9$，因此$S_4\in \{4,5,6,7,8,9\}$，下一步考慮$S_4=4$

$Int(S_1,S_2,S_3,S_4)=12$，因此$S_5\in \{5,6,7,8,9,10,11,12\}$，如果$S_5=5$，則$N=15$。這就拿到了第一種可能面值為$(1,2,3,4,5)$，三張郵票能表示的最大面值為15，記錄下這個信息后轉到$S_5=6$，計算得到$N=16$，記錄這個信息后轉到$S_5=7$，以此類推，討論完$S_5$的所有可能性后回到$S_4$的其他可能，然后再回到$S_3$和$S_2$的其他可能

Lunnon（1969）修正了這個算法，提出在搜索$S_i$的取值時可以先進行剪枝操作再搜索，可以降低算法復雜度。他認為
$$S_i<\frac{Int(S_1,?,S_{i?1})?1}{m},S_{i?1}<\frac{Int(S_1,?,S_{i?1})?1}{m^2}$$

這兩個分支可以剪掉。沿用上面的數值例子，引入剪枝操作，簡單說明一下搜索過程：

$S_1=1$, $m=3?Int(S_1)=3$，因此$S_2\in \{2,3\}$，計算$\frac{Int(S_1)?1}{m}=2/3$與$S_2$的可能取值比較，發現不符合剪枝條件，假設更小的數被優先搜索，下面考慮$S_2=2$；

$Int(S_1,S_2)=6$，因此$S_3\in \{3,4,5,6\}$，計算$\frac{Int(S_1,S_2)?1}{m}=5/3$，與$S_3$的可能取值比較，不符合剪枝條件；計算$\frac{Int(S_1,S_2)?1}{m^2}=5/9$，與$S_2$的可能取值比較，不符合剪枝條件，下一步考慮$S_3=3$；

后續步驟以此類推，我就不打字詳細說明了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA SIE545 优化理论基础5 搜索与整数规划1 DFS算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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