UA MATH523A 實分析2 測度論基礎2 集族與單調類定理

• 集族與集代數
• 單調類定理

集族與集代數

假設$\Omega$是一個非空集合，$\mathcal{C}$是$\Omega$上的一個集族（元素為集合的集合），根據集族的不同性質可以給它們不同的名字：

$\pi$-類（$\pi$-class）：對交封閉
$?A,B\in \mathcal{C},A\cap B\in \mathcal{C}$

半環（semi-ring）：
1) $?\in \mathcal{C}$
2) $?A,B\in \mathcal{C},A\cap B\in \mathcal{C}$
3) $?A\in \mathcal{C}$, $?\{E_i{\}}_{i=1}^n?\mathcal{C}$, $A^C={?}_{i=1}^n{E}_i$

環（ring）
1) $?\in \mathcal{C}$
2) $?A,B\in \mathcal{C},A\cap B\in \mathcal{C}$
3) $?A\in \mathcal{C}$, $A^C\in \mathcal{C}$

$\sigma$-環（$\sigma$-ring）
1) $?\in \mathcal{C}$
2) $?A,B\in \mathcal{C},A\cap B\in \mathcal{C}$
3) $?A\in \mathcal{C}$, $A^C\in \mathcal{C}$
4) $?\{A_i{\}}_{i=1}^{\infty }?\mathcal{C}$, ${\cup }_i^{\infty }{A}_i\in \mathcal{C}$

半代數（semi-algebra）
1) $?,\Omega \in \mathcal{C}$
2) $?A,B\in \mathcal{C},A\cap B\in \mathcal{C}$
3) $?A\in \mathcal{C}$, $?\{E_i{\}}_{i=1}^n?\mathcal{C}$, $A^C={?}_{i=1}^n{E}_i$

代數（algebra）或者稱為域（field）
1) $?,\Omega \in \mathcal{C}$
2) $?A,B\in \mathcal{C},A\cap B\in \mathcal{C}$
3) $?A\in \mathcal{C}$, $A^C\in \mathcal{C}$

$\sigma$-代數（$\sigma$-algebra）或者稱為$\sigma$-域（$\sigma$-field）
1) $?,\Omega \in \mathcal{C}$
2) $?A,B\in \mathcal{C},A\cap B\in \mathcal{C}$
3) $?A\in \mathcal{C}$, $A^C\in \mathcal{C}$
4) $?\{A_i{\}}_{i=1}^{\infty }?\mathcal{C}$, ${\cup }_i^{\infty }{A}_i\in \mathcal{C}$

單調類（monotone class）：對單調集列極限封閉
$A_n\in \mathcal{C},?n\ge 1,A_n\uparrow Aor{A}_n\downarrow A$, $A\in \mathcal{C}$

$\lambda$-類（$\lambda$-class）
1) $\Omega \in \mathcal{C}$
2) $A,B\in \mathcal{C}$, $B?A$, $A?B\in \mathcal{C}$
3) $A_n\in \mathcal{C},?n\ge 1,A_n\uparrow A$, $A\in \mathcal{C}$

考慮前面定義的環，在$\mathcal{C}$中定義加法為
$$?A,B\in \mathcal{C},A+B=A\Delta B=(A?B)\cup (B?B)$$

定義乘法為
$$?A,B\in \mathcal{C},A?B=A\cap B$$

可以驗證$(\mathcal{C},+,?)$基本符合環的定義。代數比環多了一個$\Omega \in \mathcal{C}$的條件，這個條件保證$(\mathcal{C}?\{?\},?)$也是Abel群，所以代數又被稱為域。

上一講我們從直觀出發，歸納出測度至少需要滿足下面的條件：
$$\mu :2^{{\mathbb{R}}^n}\to [0,\infty ]$$

可列可加性
$$\{E_n\}?2^{{\mathbb{R}}^n},\mu \left(\underset{n}{?}{E}_n\right)=\sum _n\mu (E_n)$$

全等不變性：如果$E$,$F$兩個圖形全等，那么$\mu (E)=\mu (F)$

單位圖形測度為1：如果$Q$代表單位圖形，比如$[0,1)$或者$[0,1)\times [0,1)$，則$\mu (Q)=1$，關于$Q$更嚴格的定義是
$$Q=\{(x_1,?,x_n):0\le x_k<1,k=1,?,n\}$$

上一講我們也論證了在冪集上定義測度是不可行的，因此我們需要考慮測度的定義域應該滿足什么性質。假設集族$\mathcal{C}$是測度的定義域，根據測度的第一條性質，顯然集族$\mathcal{C}$要對可列并封閉，那么上面介紹的九種集族中，能用的就只有$\sigma$-環和$\sigma$-代數了。

事實上在$\sigma$-環上或者$\sigma$-代數上定義測度都是可行的，但大部分教材都是在$\sigma$-代數上定義測度的，所以這個系列我們主要介紹在$\sigma$-代數上定義測度的方法，但也會介紹在$\sigma$-環上定義測度的相關結果。

在介紹單調類定理前我們先介紹一個引理
引理1

一個集族同時為代數和單調類，那么它是$\sigma$-代數；

一個集族同時為$\pi$-類和$\lambda$-類，那么它是$\sigma$-代數

證明
1）考慮集族$\mathcal{A}$，假設它是單調類也是代數，對于$\{A_i{\}}_{i=1}^n?\mathcal{A}$，定義$B_j={\cup }_{i=1}^j{A}_i$，顯然$B_j?B_{j+1}$并且$B_j\in \mathcal{A}$。根據單調類的性質，$B_j\uparrow {\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{A}$，所以代數$\mathcal{A}$對可列并，$\mathcal{A}$是$\sigma$-代數。

2）$\lambda$-類是單調類，根據1），只需要說明同時為$\lambda$-類和$\pi$-類的集族是代數即可。假設$\mathcal{C}$同時為$\lambda$-類和$\pi$-類，$?A,B\in \mathcal{C}$，$A?B=A?(A\cap B)$，根據$\lambda$-類和$\pi$-類的性質，$A?B\in \mathcal{C}$，因此$\mathcal{C}$對差封閉。所以$\mathcal{C}$是$\sigma$-代數。
證畢

單調類定理

雖然我們定義測度只用到兩種集合代數結構，但其他的結構也是有用的，比如單調類和$\lambda$類。$\sigma$-代數雖然性質良好，公理化定義比較完善，但換句話說就是要構造$\sigma$-代數要求非常苛刻，因此直接構造$\sigma$-代數是一件非常困難的事情。

假設$\mathcal{C}$是一個集族，記$\sigma (\mathcal{C})$是集族$\mathcal{C}$生成的$\sigma$-代數，記$m(\mathcal{C})$是集族$\mathcal{C}$生成的單調類，記$\lambda (\mathcal{C})$是集族$\mathcal{C}$生成的$\lambda$類。顯然由同一個集族生成的代數結構，越復雜的越粗：
$$m(\mathcal{C})?\lambda (\mathcal{C})?\sigma (\mathcal{C})$$

因為單調類是最容易構造的，我們可以設想假設$\mathcal{C}$可以滿足一些條件，可以使$m(\mathcal{C})=\sigma (\mathcal{C})$，這樣的結果被稱為單調類定理。

定理1

$\mathcal{C}$為代數，則$m(\mathcal{C})=\sigma (\mathcal{C})$

$\mathcal{C}$為$\pi$-類，則$\lambda (\mathcal{C})=\sigma (\mathcal{C})$

證明
這里簡單闡述一下第一條的證明。根據引理，只需要證明$m(\mathcal{C})$是代數即可，定義
$$\mathcal{M}=\{A\in m(\mathcal{C}):A^C\in m(\mathcal{C}),A\cap B\in m(\mathcal{C}),?B\in m(\mathcal{C})\}$$

驗證$\mathcal{M}=m(\mathcal{C})$以及$\mathcal{M}$是代數即可。這種證明方法叫適當集合原理，它的思路是定義一個集族滿足某些特定性質的子集（適當集合），然后證明這個子集與這個集族相等并且是一類特殊的集族，這樣我們就證明了這個集族也是這類特殊的集族。下面的定理2我們也用適當集合原理證明。

詳細步驟參考俄羅斯數學教材選譯《概率》第一卷第二篇第二節定理1。

證畢

定理1給了一個充分條件，現在我們試圖推廣這個結果，找一個充要條件，如下面的定理2。

定理2

$m(\mathcal{C})=\sigma (\mathcal{C})$的充要條件是$m(\mathcal{C})$對補和交封閉

$\lambda (\mathcal{C})=\sigma (\mathcal{C})$的充要條件是$\lambda (\mathcal{C})$對交封閉

證明
只介紹大致的思路，定義
$${\mathcal{G}}_1=\{A\in m(\mathcal{C}):A^C\in m(\mathcal{C}),A\cap B\in m(\mathcal{C}),?B\in m(\mathcal{C})\}$$

可以驗證${\mathcal{G}}_1$是代數，也是單調類，另外${\mathcal{G}}_1?m(\mathcal{C})$，并且$\mathcal{C}\in {\mathcal{G}}_1$，根據引理${\mathcal{G}}_1$是$\sigma (\mathcal{C})$。

第二條證明定義
$${\mathcal{G}}_2=\{A\in \lambda (\mathcal{C}):A\cap B\in \lambda (\mathcal{C}),?B\in \lambda (\mathcal{C})\}$$

驗證${\mathcal{G}}_2$是$\pi$-類，也是最小$\lambda$-類即可。

證畢

評注 定理2的兩條結論中對交封閉可以改成對并封閉。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH523A 实分析2 测度论基础2 集族与单调类的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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