UA SIE545 優化理論基礎1 凸分析1 線性流形與超平面

• 線性流形
• 超平面

線性流形

假設$F$是一個數域，$V$是$F$上的一個線性空間。稱$M?V$是一個線性流形，如果
$$?x,y\in M,?\lambda \in F,(1?\lambda )x+\lambda y\in M$$

定理1 線性子空間是包含零元的線性流形
證明
“$?$” 顯然成立；
“$?$” 驗證下面幾點：

$M$對數乘封閉；
$$?\lambda \in F,x\in M,\lambda x=(1?\lambda )0+\lambda x\in M$$

$M$對加法封閉；
$$?x,y\in M,x+y=2(x/2+y/2)\in M$$

因此包含零元的線性流形是線性子空間。

證畢

定義集合$M?V$沿向量$a\in V$方向的平移為
$$M+a=\{x+a:x\in M\}$$

記$S=M+a$，稱$M$與$S$平行，記為$M||S$，這是一種等價關系。

定理2 線性空間中的每個線性流形都平行于唯一一個線性子空間：
$$L?M?M=\{x?y:x,y\in M\}$$

證明
考慮$?y\in M$, $M?y$是一個線性流形，并且包含零元，根據定理1，$M?y$是一個線性子空間，因為$y$的任意性，我們可以構造
$$L?M?M=\{x?y:x,y\in M\}$$

滿足$M||L$。下面討論唯一性，假設$M$平行于$L_1,L_2$，根據平行的傳遞性，$L_1||L_2$，說明$?a\in V$, $L_2=L_1+a$，對于$0\in L_2$, $??a\in L_1$, $0=?a+a$，因此$a\in L_1$, 所以$L_2=L_1+a?L_1$，類似有$L_1?L_2$。故$L_1=L_2$。
證畢

稱$L$與$M$具有相同的維數：$dim(L)=dim(M)=dim(V)?1$。維數為0、1、2、大于2的線性空間中的線性流形分別叫做點、線、平面與超平面。

超平面

在線性空間$V$上定義內積：$?x,y\in V$,
$$(x,y)=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$$

有了內積之后，根據Riesz定理，$V$上的任意線性泛函$f$可以表示為
$$f(x)=(x,b),?b\in V$$

并且我們可以定義正交：$x$與$y$正交等價于$(x,y)=0$，如果$x$與子空間$W$中的每個向量正交，就稱$x$與子空間$W$正交。$V$中所有與$W$正交的向量構成的子空間叫做$W$的正交補空間，記為$W^{\perp }$。

定理3 $V$中的每個超平面都可以用它的法線唯一表示。用$H$表示超平面，則$?!b\in V,?!\beta \in F$
$$H=\{x\in V:(x,b)=\beta \}$$

稱$b$為$H$的法向量。

證明
根據定理2，$dim(L)=dim(H)=dim(V)?1$。對于線性子空間$L$，它的正交補空間$L^T$的維數為1，因此$?b\in L^T$,
$$L=\{x\in V:(x,b)=0\}$$

需要注意的是雖然$b$不唯一，但$dim(L^T)=1$，因此$b$代表的方向是唯一的，它表示與$L^T$平行的方向，或者說，$L$的法向。因為$L||H$，$?!a\in V$,
$$H=L+a=\{x\in V:(x,b)=0\}+a=\{x\in V:(x,b)=\beta \}$$

其中$\beta =(a,b)$。

證畢

總結

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