UA SIE545 優(yōu)化理論基礎(chǔ)9 優(yōu)先與分治策略1 文件的最優(yōu)存儲(chǔ)順序

• 單磁帶存儲(chǔ)
• • 相同查詢頻率
  • 相同文件長(zhǎng)度
  • 查詢頻率與文件長(zhǎng)度均不同

單磁帶存儲(chǔ)

相同查詢頻率

這一章介紹優(yōu)先策略與分治策略，我們從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子開(kāi)始介紹優(yōu)先策略。考慮非常簡(jiǎn)單的磁帶存儲(chǔ)問(wèn)題：如果我們把$n$個(gè)文件存儲(chǔ)在磁帶上，那么這$n$個(gè)文件只能按存儲(chǔ)順序進(jìn)行讀寫(xiě)，假設(shè)$L_i,i=1,?,n$表示第$i$個(gè)文件長(zhǎng)度，假設(shè)查詢每個(gè)文件的概率相同，求最優(yōu)的文件存儲(chǔ)順序。

假設(shè)$\sigma$表示一個(gè)$n$階的排列，即$\sigma \in P_n$。我們可以用排列來(lái)表示文件存儲(chǔ)的順序，即$\sigma (1),?,\sigma (n)$，其中$\sigma (i)\in \{1,?,n\}$表示第$i$個(gè)文件被存放在第$\sigma (i)$個(gè)位置，記$j=\sigma (i)$，則第$i$個(gè)文件前面還有$j?1$個(gè)文件，讀完第$i$個(gè)文件需要的總長(zhǎng)度為
$$\sum _{k=1}^j{L}_{{\sigma }^{?1}(k)}$$

基于這個(gè)發(fā)現(xiàn)，我們可以計(jì)算給定一個(gè)排列，查詢一次文件平均需要讀的長(zhǎng)度，并且以此定義尋找最優(yōu)存儲(chǔ)順序的最優(yōu)化問(wèn)題：
$$\underset{\sigma \in P_n}{\min }\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^j{L}_{{\sigma }^{?1}(k)}$$

因?yàn)椴樵兠總€(gè)文件的概率相同，直覺(jué)上我們應(yīng)該把小文件放前面，大文件放在后面，也就是$\sigma$要滿足
$$L_{{\sigma }^{?1}(1)}\le ?\le L_{{\sigma }^{?1}(n)}$$

證明
注意到${\sigma }^{?1}$也是一個(gè)$n$階排列，記$\tau ={\sigma }^{?1},\tau \in P_n$。定義
$$S(\tau )=\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^j{L}_{\tau (k)}=\sum _{k=1}^n(n?k+1)L_{\tau (k)}$$

假設(shè)$\tau$使得字長(zhǎng)滿足
$$L_{\tau (1)}\le ?\le L_{\tau (n)}$$

如果交換${\tau }_i$與${\tau }_j$ ($j>i$)，即定義${\tau }^{\prime }$滿足
$${\tau }^{\prime }=\left(\begin{array}{ccccccc}1& ?& i& ?& j& ?& n\\ \tau (1)& ?& \tau (j)& ?& \tau (i)& ?& \tau (n)\end{array}\right)$$

那么這會(huì)導(dǎo)致$S$增加
$$\begin{gathered} S({\tau }^{\prime })?S(\tau )=[(n?i+1)L_{\tau (j)}+(n?j+1)L_{\tau (i)}] \\ ?[(n?i+1)L_{\tau (i)}+(n?j+1)L_{\tau (j)}]=(j?i)(L_{\tau (j)}?L_{\tau (i)})>0 \end{gathered}$$

因此
$$\tau =\underset{\sigma \in P_n}{\mathrm{argmin}}\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^j{L}_{{\sigma }^{?1}(k)}$$
證畢

相同文件長(zhǎng)度

假設(shè)$n$個(gè)文件長(zhǎng)度相同，但查詢頻率分別為$f_1,?,f_n$，其中
$$f_1+?+f_n=1$$

則最優(yōu)存儲(chǔ)順序?yàn)椴樵冾l率高的文件放在前面，查詢頻率低的文件放后面。

證明
同樣用$n$階排列表示存放順序，并且不失一般性，用1表示文件長(zhǎng)度，則讀完第$i$個(gè)文件需要的總長(zhǎng)度為
$$\sum _{k=1}^{j}1=j$$

對(duì)應(yīng)的頻率是$f_{{\sigma }^{?1}(j)}$，因此這時(shí)的最優(yōu)化問(wèn)題變成了
$$\underset{\sigma \in P_n}{\min }\sum _{j=1}^{n}j{f}_{{\sigma }^{?1}(j)}$$

記$\tau ={\sigma }^{?1},\tau \in P_n$。定義
$$S(\tau )=\sum _{j=1}^{n}j{f}_{\tau (j)}$$

假設(shè)$\tau$使得查詢頻率滿足
$$f_{\tau (1)}\ge ?\ge f_{\tau (n)}$$

沿用上一個(gè)證明對(duì)${\tau }^{\prime }$的證明，計(jì)算

$$\begin{gathered} S({\tau }^{\prime })?S(\tau )=[i{f}_{\tau (j)}+j{f}_{\tau (i)}]?[i{f}_{\tau (i)}+j{f}_{\tau (j)}] \\ =(j?i)(f_{\tau (i)}?f_{\tau (j)})>0 \end{gathered}$$

證畢

查詢頻率與文件長(zhǎng)度均不同

假設(shè)$n$個(gè)文件長(zhǎng)度不同，并且查詢頻率也不同，最優(yōu)存儲(chǔ)順序?yàn)槠骄孔植樵冾l率高的文件放在前面，平均每字查詢頻率低的文件放后面。
證明
證明方法與前文完全一樣。讀完第$i$個(gè)文件需要的總長(zhǎng)度為
$$\sum _{k=1}^j{L}_{{\sigma }^{?1}(k)}$$

對(duì)應(yīng)的頻率是$f_{{\sigma }^{?1}(j)}$，因此最優(yōu)化問(wèn)題可以寫(xiě)成
$$\underset{\sigma \in P_n}{\min }\sum _{j=1}^n{f}_{{\sigma }^{?1}(j)}\sum _{k=1}^j{L}_{{\sigma }^{?1}(k)}$$

記$\tau ={\sigma }^{?1},\tau \in P_n$使之滿足
$$f_{\tau (1)}/L_{\tau (1)}\ge ?\ge f_{\tau (n)}/L_{\tau (n)}$$

用前兩個(gè)證明的思路，可以說(shuō)明$\tau$是最優(yōu)解。

證畢

根據(jù)上面的論述，在計(jì)算上，我們把最優(yōu)存儲(chǔ)問(wèn)題變成了排序問(wèn)題，這就是優(yōu)先策略的體現(xiàn)，因?yàn)槲覀兪前凑掌骄孔植樵冾l率優(yōu)先的原則對(duì)文件進(jìn)行排序的。對(duì)于這一類找最優(yōu)pecking order的問(wèn)題，優(yōu)化的目標(biāo)是最大化gain或者最小化cost，在確定pecking order的時(shí)候，我們應(yīng)該按每一次pecking的marginal gain最大、或者marginal cost最小的原則進(jìn)行，這就是優(yōu)先策略的思想。

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總結(jié)

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