精算模型1 一元生存分析2 參數生存模型

• • 均勻分布 (de Moivre 1724)
  • 指數分布
  • Gompertz分布 (1825)
  • Makeham分布 (1860)
  • Weibull分布 (Frechet,1927; Weibull 1951)
  • • Gamma函數
    • Weibull分布的基本生存函數

這一講介紹幾個常用的剩余壽命$T$的分布。

均勻分布 (de Moivre 1724)

假設$w$表示極限年齡，則$T～U(0,w)$,
$$f_T(t)=\frac{1}{w}{I}_{0\le t\le w}$$

特點：第一個壽命的連續概率模型；剩余壽命均勻分布，隨著年齡增長危險率上升，達到極限年齡時必死無疑；
適用性：長時間區間不適用。

性質：

生存函數
$$S(t)=\frac{w?t}{w}$$

危險率函數$$h(t)=\frac{1}{w?t}$$

平均剩余壽命（期望）$$E[T]=\frac{w}{2}$$

方差 $$Var[T]=\frac{w^2}{12}$$

指數分布

假設$T～f(t)$,
$$f_T(t)=\frac{1}{\theta }{e}^{?\frac{1}{\theta }t},t>0$$

特點：常值死亡力（危險率函數為常數）；一段時間內的死亡概率與當前年齡無關；是Gamma分布與Weibull分布的特例；
適用性：一般用在一年、一年以內的年齡區間。

性質

生存函數
$$S(t)=e^{?\frac{1}{\theta }t}$$

危險率函數$$h(t)=\frac{1}{\theta }$$

期望 $$E[T]=\theta$$

方差 $$Var[T]={\theta }^2$$

無記憶性 $$P(T\ge y+t|T\ge y)=P(T\ge t)$$

Gompertz分布 (1825)

Gompertz分布通過直接定義危險率函數得到：
$$h(t)=B{c}^t,t\ge 0,c>1,B>0$$

它的適用性不強，因為相關的生存分析基本函數的形式非常復雜，生存函數稍微簡單一點
$$S(t)=\exp \left(\frac{B}{\ln c}(1?c^t)\right)$$

Makeham分布 (1860)

Makeham分布是對Gompertz分布的修正，Gompertz分布用冪函數對與年齡相關的危險率進行建模，但沒有考慮到所有年齡段共有的一些死亡風險，于是Makeham分布的危險率函數修正為
$$h(t)=A+B{c}^t,t\ge 0,c>1,B>0,A>?B$$

這個形式比Gompertz分布的形式還要復雜一點，因此相關的生存分析基本函數的形式也非常復雜，生存函數為
$$S(t)=\exp \left(\frac{B}{\ln c}(1?c^t)?At\right)$$

Weibull分布 (Frechet,1927; Weibull 1951)

Weibull分布參數為$\theta ,\gamma$，概率密度函數為
$$f(x)=\frac{\gamma }{\theta }{x}^{\gamma ?1}{e}^{?\frac{1}{\theta }{x}^{\gamma }},x>0,\gamma ,\theta >0$$

Gamma函數

Gamma函數是階乘在實數域的延拓，它由如下的積分形式定義：
$$\Gamma (x)={\int }_0^{\infty }{t}^{x?1}{e}^{?t}dt,x>0$$

Gamma函數及其相關計算技巧在概率統計中非常重要，

性質

$\Gamma (x)=x\Gamma (x?1)$

$\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }$

$\Gamma (x)～\sqrt{2\pi }{e}^{?x}{x}^{x?\frac{1}{2}}$ (Stirling’s Formula)

證明
這里用概率論的思路給出性質3的簡單證明，也可以查閱任何一本數學分析的教材，學習用分析的思路證明性質3的方法。

We try to proof it using probability theory. Suppose $X_1$, $X_2$, … , $X_n$ independently follow Poisson distribution with mean of each is 1. Define $S_n={\sum }_{i=1}^n{X}_i$, then $E(S_n)=Var(S_n)=n$. So
$$P(S_n=n)=\frac{e^{?n}{n}^n}{n!}$$
According CLT,
$$\frac{S_n?n}{\sqrt{n}}{\to }_{d}N(0,1)$$
which means $?n\in \mathbb{N}$, $??>0$, $?\delta >0$ such that $?x\in B(n,\delta )$,
$$|P(S_n=n)?[F(0)?F(?\frac{1}{\sqrt{x}})]|<\frac{?}{2}$$
Here $F(x)$ is the CDF of standard normal distribution.Since $P(S_n=n)=P(n?1<S_n\le n)=P(?1/\sqrt{n}<S_n\le 0)$, this is approximately $F(0)?F(?1/\sqrt{n})$ according to convergence in distribution. Notice $F(x)$ is continuous, so $?x\in B(n,\delta )$,
$$|[F(0)?F(?\frac{1}{\sqrt{x}})]?[F(0)?F(?\frac{1}{\sqrt{n}})]|<\frac{?}{2}$$
So
$$\begin{gathered} |P(S_n=n)?[F(0)?F(?\frac{1}{\sqrt{n}})]| \\ \le |P(S_n=n)?[F(0)?F(?\frac{1}{\sqrt{x}})]|?|F(x)?[F(0)?F(?\frac{1}{\sqrt{n}})]|<? \end{gathered}$$
Notice $F(x)$ is also bounded, so $?M>0$ such that $?x,F(x)\le M$
$$|\frac{P(S_n=n)}{F(0)?F(?\frac{1}{\sqrt{n}})}?1|<\frac{?}{M}$$
$$\begin{gathered} F(0)?F(?\frac{1}{\sqrt{n}})={\int }_{?\frac{1}{\sqrt{n}}}^0\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{x^2}{2}}dx \\ ={\int }_{?\frac{1}{\sqrt{n}}}^0\frac{1}{\sqrt{2\pi }}(1?\frac{x^2}{2}+o(x^3))dx \\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}?\frac{1}{\sqrt{12\pi n^3}}+o(\frac{1}{n^2}) \end{gathered}$$
According to the two equations and inequality, when n is large enough, we can ignore $?\frac{1}{\sqrt{12\pi n^3}}+o(\frac{1}{n^2})$, so
$$\frac{e^{?n}{n}^n}{n!}\to \frac{1}{\sqrt{2\pi }}$$

證畢

Weibull分布的基本生存函數

性質

生存函數
$$S(x)=e^{?\frac{1}{\theta }{x}^{\gamma }},x\ge 0$$

危險率函數$$h(x)=\frac{\gamma }{\theta }{x}^{\gamma ?1},x\ge 0$$顯然$\gamma$控制$h$的單調性

期望$$EX={\theta }^{1/\gamma }\Gamma (1+1/\gamma )$$

$r$階矩$$E{X}^r={\theta }^{r/\gamma }\Gamma (1+r/\gamma )$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的精算模型1 一元生存分析2 参数生存模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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