UA MATH523A 實分析3 積分理論16 截口與單調類、特征函數的Fubini定理

上一講我們建立了乘積測度，接下來我們要在乘積測度空間$(X\times Y,\mathcal{M}?\mathcal{N},\mu \times \nu )$上建立重積分的計算理論，這個操作與在可測空間上建立Lebesgue積分的路徑類似，先考慮特征函數，再考慮一般函數。這一講的目標是引入一些在乘積空間上建立積分所需要的結構，并得到特征函數的重積分與Fubini定理。

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截口
考慮$E?X\times Y$, $x\in X,y\in Y$，定義
$$\begin{gathered} E_x=\{y\in Y:(x,y)\in E\} \\ {E}^y=\{x\in X:(x,y)\in E\} \end{gathered}$$

稱其為$E$的x-section與y-section。考慮定義在$X\times Y$上的函數$f$，定義
$$\begin{gathered} f_x(y)=f(x,y) \\ {f}^y(x)=f(x,y) \end{gathered}$$

分別為$f$的x-section與y-section。

定理1

$E\in \mathcal{M}?\mathcal{N}$, then $E_x\in \mathcal{N},?x\in X$, $E^y\in \mathcal{M},?y\in Y$

$f$ is $\mathcal{M}?\mathcal{N}$-measurable, then $f_x$ is $\mathcal{M}$-measurable, $f^y$ is $\mathcal{N}$-measurable

這個定理的證明參考Folland proposition 2.34.

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單調類
稱$\mathcal{E}?\mathcal{P}(X)$為單調類，如果$?\{E_j{\}}_{j=1}^{\infty }?\mathcal{E}$，

如果$E_j\uparrow$, ${\cup }_{j\ge 1}{E}_j\in \mathcal{E}$

如果$E_j\downarrow$, ${\cap }_{j\ge 1}{E}_j\in \mathcal{E}$

關于單調類及其它特殊集系的關系可以參考UA MATH523A 實分析2 測度論基礎2 集族與單調類定理，這一講只把需要用到的結果摘錄一下。

單調類引理 假設$\mathcal{A}$是$X$上的代數，則$\mathcal{A}$生成的單調類與$\mathcal{A}$生成的$\sigma$-代數相等。

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基于截口與單調類這兩個結構，我們要得到重積分與Fubini定理的簡單版本，也就是對特征函數成立的版本，結論陳述如下。

定理2 $(X,\mathcal{M},\mu )$與$(Y,\mathcal{N},\nu )$是兩個$\sigma$-有限測度，考慮$E\in \mathcal{M}?\mathcal{N}$，則$x\to \nu (E_x)$與$y\to \mu (E^y)$分別是$\mathcal{M}$-可測與$\mathcal{N}$-可測的，并且
$$(\mu \times \nu )(E)=\int \nu (E_x)d\mu (x)=\int \mu (E^y)d\nu (y)$$

評注
我們簡單分析一下這三個量，
$$\begin{gathered} (\mu \times \nu )(E)=?{\chi }_E(x,y)d(\mu \times \nu )(x,y) \\ \int \nu (E_x)d\mu (x)=\int \int {\chi }_{E_x}(y)d\nu (y)d\mu (x) \\ =\int \int ({\chi }_E{)}_x(y)d\nu (y)d\mu (x)=?{\chi }_E(x,y)d\nu (y)d\mu (x) \\ \int \mu (E^y)d\nu (y)=\int \int {\chi }_{E^y}(x)d\mu (x)d\nu (y) \\ =\int \int ({\chi }_E{)}^y(x)d\mu (x)d\nu (y)=?{\chi }_E(x,y)d\mu (x)d\nu (y) \end{gathered}$$

第一個量是特征函數基于乘積測度的Lebesgue積分（重積分）；第二個量是特征函數先對$x$積分，再對$y$積分；第三個量是特征函數先對$y$積分，再對$x$積分，這兩個量被稱為累次積分(iterated integral)。因此定理2說特征函數的重積分等于累次積分。

證明
i) 我們先考慮一種簡單情況，$\mu ,\nu$都是有限測度。記$\mathcal{E}$是$\mathcal{M}?\mathcal{N}$上所有滿足定理2的集合$E$的組成的集系。證明分為三步，

證明上一講定義的elementary family $\Sigma$是$\mathcal{E}$的子集

證明基于這個elementary family導出的代數$\mathcal{A}$是$\mathcal{E}$的子集

證明$\mathcal{E}$是單調類

基于第二條可以得到$\mathcal{A}$生成的單調類也是$\mathcal{E}$的子集，根據單調類引理，$\mathcal{A}$生成的單調類就是$\sigma (\mathcal{A})$，上一講我們論述了$\sigma (\mathcal{A})=\mathcal{M}?\mathcal{N}$，而$\mathcal{E}?\mathcal{M}?\mathcal{N}$，這樣就說明了$\mathcal{E}=\mathcal{M}?\mathcal{N}$，因此對于$\mathcal{E}$中的所有元素，乘積測度的性質是成立的，也就是
$$(\mu \times \nu )(x,y)=\mu (x)\nu (y)=\nu (y)\mu (x)$$

因此重積分等于累次積分并且累次積分可以交換次序。下面我們逐一論述以上三條論斷。

第一條。我們考慮$A\times B\in \Sigma$，上一講我們論證過，$A\times B\in \mathcal{M}?\mathcal{N}$，根據定理1，
$$\begin{gathered} ?x\in X,(A\times B{)}_x\in \mathcal{N} \\ ?y\in Y,(A\times B{)}^y\in \mathcal{M} \end{gathered}$$

不難驗證
$$\begin{gathered} {\chi }_{(A\times B{)}_x}(y)={\chi }_A(x){\chi }_B(y) \\ {\chi }_{(A\times B{)}^y}(y)={\chi }_A(x){\chi }_B(y) \end{gathered}$$

因此
$$\begin{gathered} \nu ((A\times B{)}_x)=\int {\chi }_{(A\times B{)}_x}(y)d\nu (y) \\ =\int {\chi }_A(x){\chi }_B(y)d\nu (y)={\chi }_A(x)\nu (B) \end{gathered}$$

因為$A\in \mathcal{M}$, ${\chi }_A$是$\mathcal{M}$-可測的，$\nu (B)$是常數，因此$\nu ((A\times B{)}_x)$作為$x$的函數，是$\mathcal{M}$-可測的。同理，
$$\begin{gathered} \mu ((A\times B{)}^y)=\int {\chi }_{(A\times B{)}^y}(x)d\mu (x) \\ =\int {\chi }_A(x){\chi }_B(y)d\mu (x)={\chi }_B(y)\mu (A) \end{gathered}$$

作為$y$的函數，是$\mathcal{N}$-可測的。這樣我們就驗證了$A\times B$滿足定理的前一半，$x\to \nu ((A\times B{)}_x)$與$y\to \mu ((A\times B{)}^y)$分別是$\mathcal{M}$-可測與$\mathcal{N}$-可測的。下面我們計算積分，
$$\begin{gathered} \int \nu ((A\times B{)}_x)d\mu (x)=\int {\chi }_A(x)\nu (B)d\mu (x)=\mu (A)\nu (B) \\ \int \mu ((A\times B{)}^y)d\nu (y)=\int {\chi }_B(y)\mu (A)d\nu (y)=\mu (A)\nu (B) \end{gathered}$$

這樣我們就說明了$A\times B$也滿足定理的后一半，因此$A\times B\in \mathcal{E}$。這就完成了第一條的證明。

第二條。我們需要說明elementary family $\Sigma$導出的代數$\mathcal{A}$中的元素也滿足這個定理。記$E$為$\mathcal{A}$中的元素，則
$$E={?}_{j=1}^n{E}_j={?}_{j=1}^n(A_j\times B_j),E_j=A_j\times B_j\in \Sigma$$

不難驗證$E$的截口滿足
$$E_x={?}_{j=1}^n(E_j{)}_x,E^y={?}_{j=1}^n(E_j{)}^y$$

因為可測函數的和也是可測函數，所以
$$\begin{gathered} x\to \nu (E_x)=\sum _{j=1}^n\nu ((E_j{)}_x) \\ y\to \mu (E^y)=\sum _{j=1}^n\mu ((E_j{)}^y) \end{gathered}$$

都是可測函數。最后我們再計算一下積分，
$$\begin{gathered} \int \nu (E_x)d\mu (x)=\int \sum _{j=1}^n\nu ((E_j{)}_x)d\mu (x)=\sum _{j=1}^n\int \nu ((E_j{)}_x)d\mu (x) \\ =\sum _{j=1}^n(\mu \times \nu )(E_j)=(\mu \times \nu )(E) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \int \mu (E^y)d\nu (y)=\int \sum _{j=1}^n\mu ((E_j{)}^y)d\nu (y)=\sum _{j=1}^n\int \mu ((E_j{)}^y)d\nu (y) \\ =\sum _{j=1}^n(\mu \times \nu )(E_j)=(\mu \times \nu )(E) \end{gathered}$$

顯然這兩個積分相等，且都等于$(\mu \times \nu )(E)$，所以$?E\in \mathcal{A}$，$E\in \mathcal{E}$，第二條證畢。

第三條。我們來證明$\mathcal{E}$是單調類，這個證明流程比較長但思路比較清晰，需要分別驗證遞增與遞減的集列。

取一列$\mathcal{E}$上的遞增集合$\{E_j\}$，記$E={\cup }_{j\ge 1}{E}_j={\lim }_j{E}_j$，定義函數$$f_j:X\to [0,\infty ],f_j(x)=\nu ((E_j{)}_x)$$

因為$\{E_j\}$遞增，$f_j$關于$j$是遞增的函數列。定義
$$f(x)=\nu (E_x),?x\in X$$

它其實是$f_j(x)$這個序列的極限，用測度的連續性可以驗證
$$\begin{gathered} f(x)=\nu (E_x)=\nu ({\left(\underset{j=1}{\overset{\infty }{?}}{E}_j\right)}_x)=\nu (\left(\underset{j=1}{\overset{\infty }{?}}(E_j{)}_x\right)) \\ =\nu (\underset{j}{\lim }(E_j{)}_x)=\underset{j}{\lim }\nu ((E_j{)}_x)=\underset{j}{\lim }{f}_j(x) \end{gathered}$$

因為$f_j$是可測的，上式說明$f$也是可測的。根據單調收斂定理，
$$\begin{gathered} \int \nu (E_x)d\mu (x)=\int f(x)d\mu (x)=\underset{j}{\lim }\int f_j(x)d\mu (x) \\ =\underset{j}{\lim }\int \nu ((E_j{)}_x)d\mu (x)=\underset{j}{\lim }(\mu \times \nu )(E_j)=(\mu \times \nu )(E) \end{gathered}$$

用類似的操作可以說明
$$\int \mu (E^y)d\nu (y)=(\mu \times \nu )(E)$$

因此$E\in \mathcal{E}$。

我們還需要討論對$\mathcal{E}$上的遞減集合$\{E_j\}$，記$E={\cap }_{j\ge 1}{E}_j={\lim }_j{E}_j$，$E\in \mathcal{E}$，具體操作與遞增集列類似，這里就不贅述了。

ii）現在討論更一般的情況，假設$\mu ,\nu$是$\sigma$-有限測度，處理方法是將這兩個測度限制到一個“比較大的子集”上，使其成為有限測度，并使用i）的結論即可。具體過程可以參考Folland Theorem 2.36的證明。

證畢

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH523A 实分析3 积分理论16 截口与单调类、特征函数的Fubini定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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