UA MATH563 概率論的數學基礎 鞅論初步2 條件期望的應用：推導二元隨機變量的相關計算公式

上一講我們介紹了關于$\sigma$-代數定義的條件期望以及關于隨機變量的條件期望，這一講我們用這些定義推導二元隨機變量的條件密度、條件期望等計算公式。

我們先描述一下概率空間，取$\Omega ={\mathbb{R}}^2$，它與$\mathcal{B}({\mathbb{R}}^2)$構成可測空間，用$P$表示定義在這個可測空間上的一個概率。$(X,Y)$是定義在這個可測空間上的隨機向量，它的概率密度是$f(x,y)$，
$$P((X,Y)\in A)=\int {\chi }_{A}dP={?}_{A}f(x,y)dxdy,?A\in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^2)$$

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我們要回答的第一個問題是$P(Y\in B|X=x)$如何計算。

考慮$?x\in \mathbb{R}$
$$\begin{gathered} P(Y\in B|X=x)=\frac{P(Y^{?1}(B)\cap X^{?1}(x))}{P(X^{?1}(x))} \\ =\frac{{?}_{\{x\}\times B}f(x,y)dxdy}{{?}_{\{x\}\times \mathbb{R}}f(x,y)dxdy}=\frac{{\int }_{B}f(x,y)dy}{{\int }_{\mathbb{R}}f(x,y)dy}?{\int }_{B}f(y|x)dy \end{gathered}$$

其中${\int }_{\mathbb{R}}f(x,y)dy$是$X$的邊緣密度，記為$f_X(x)$，$f(y|x)$是$Y|X=x$的概率密度，稱之為$Y$關于$X$的條件密度，
$$f(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$$

表面上看我們仿佛得到了一個條件密度的公式，根據這個公式可以計算條件概率，但是這個公式還不是很嚴謹，因為$(X,Y)\in {\mathbb{R}}^2$，$x$的取值有可能使得$f_X(x)=0$，所以接下來我們要處理一下$f_X(x)=0$的情況。計算
$$P(\{x:f_X(x)=0\})={?}_{\{x:f_X(x)=0\}\times \mathbb{R}}f(x,y)dxdy$$

根據Fubini-Tonelli定理，交換積分次序
$$\begin{gathered} P(\{x:f_X(x)=0\})={?}_{\{x:f_X(x)=0\}\times \mathbb{R}}f(x,y)dydx \\ ={\int }_{\{x:f_X(x)=0\}}{f}_X(x)dx=0 \end{gathered}$$

這說明$\{x:f_X(x)=0\}$是一個零測集，因此支撐集$supp{f}_X(x)=\{x:f_X(x)>0\}$幾乎必然等于$\mathbb{R}$，在分析時我們總是可以用支撐集代替全集進行計算。

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接下來我們討論第二個問題，$E[g(Y)|X]$如何計算，其中$g$是Borel可測函數。

我們可以基于上面定義的條件密度計算
$$E[g(Y)|X]={\int }_{\mathbb{R}}g(y)f(y|X)dy$$

這里就涉及$f(y|X)$這個我們沒定義過的東西了，所以接下來我們定義一下它。
$$\begin{gathered} f(y|X)=P(Y^{?1}(y)|X)=P(Y^{?1}(y)|\sigma (X)) \\ =\frac{P(Y^{?1}(y)\cap \sigma (X))}{P(\sigma (X))}=\frac{f(X,y)}{{\int }_{y}f(X,y)dy} \end{gathered}$$

這個推導中需要注意的是關于$X$的條件概率就是關于$\sigma (X)$的條件概率，這種條件概率依然是隨機變量，因此$f(y|X)$也是隨機變量。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH563 概率论的数学基础 鞅论初步2 条件期望的应用：推导二元随机变量的条件概率与条件期望的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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