UA MATH523A 實分析3 積分理論例題 一個測度與積分的綜合計算題

例 $E_n$是一列$[0,1]$上的Lebesgue可測集，$?k\in [0,1]$，滿足
$$\underset{n\to \infty }{\lim }m(E_n\cap [0,a])=ka,?a\in [0,1]$$

證明$?f\in L^1([0,1])$,
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{E_n}fdm=k{\int }_0^{1}f(x)dx$$

證

Claim：$?I?[0,1]$, $I$是一個區間，有$m(E_n\cap I)\to km(I)$。

根據假設，對$[0,a]$這類區間顯然是成立的，我們需要還討論$[b,1]$與$(a,b)$這兩類區間：

$m(E_n\cap [b,1])=m(E_n?[0,b))=m(E_n?[0,b])=m(E_n)?m(E_n\cap [0,b])\to k(1?b)$，其中$m(E_n)\to k$，取$a=1$即可驗證；

$m(E_n\cap (a,b))=m(E_n?[0,a]?[b,1])=m(E_n)?m(E_n\cap [0,a])?m(E_n\cap [b,1])\to k(b?a)$

這樣我們就說明了Claim為真。

下面我們討論關于積分的結論，沒什么頭緒的時候，關于積分的結論我們總是可以先討論簡單可測函數然后再用簡單可測函數逼近一般可測函數的思路處理。所以假設
$$?=\sum _{j=1}^N{a}_j{\chi }_{I_j}$$

其中$I_j$是$[0,1]$上的區間。計算
$${\int }_{E_n}?dm=\sum _{j=1}^N{a}_{j}m(E_n\cap I_j)\to \sum _{j=1}^{N}k{a}_{j}m(I_j)=k{\int }_0^1?(x)dx$$

也就是說關于積分的那個結論對簡單可測函數是成立的。

$?f\in L^1([0,1]),?>0$，根據Theorem 2.10，$??$為簡單函數，使得
$$\int |f??|dm<\frac{?}{3}$$

因為
$${\int }_{E_n}?dm\to k{\int }_0^1?(x)dx,n\to \infty$$

$?N\in \mathbb{N},?n\ge N$,
$$\left|{\int }_{E_n}?dm?k{\int }_0^1?(x)dx\right|<\frac{?}{3}$$

所以
$$\begin{gathered} \left|{\int }_{E_n}fdm?k{\int }_0^{1}f(x)dx\right| \\ =\left|{\int }_{E_n}(f??)dm+k{\int }_0^1(f??)(x)dx+{\int }_{E_n}?dm?k{\int }_0^1?(x)dx\right| \\ \le {\int }_{E_n}|f??|dm+k{\int }_0^1|f??|(x)dx+\left|{\int }_{E_n}?dm?k{\int }_0^1?(x)dx\right| \\ <\frac{?}{3}+\frac{?}{3}+\frac{?}{3}=? \end{gathered}$$

總結

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