UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 判断函数可积性的一个题目
UA MATH523A 實分析3 積分理論例題 判斷函數可積性的一個題目
例 (X,M,μ)(X,\mathcal{M},\mu)(X,M,μ)是一個測度空間，fff是定義在(X,M,μ)(X,\mathcal{M},\mu)(X,M,μ)上的可測函數，
∑n=0∞∫∣f∣ndμ<∞\sum_{n=0}^{\infty}\int |f|^nd\mu<\inftyn=0∑∞?∫∣f∣ndμ<∞
證明
證
第一問：定義E={x∈X:∣f(x)∣>1}E=\{x \in X:|f(x)|>1\}E={x∈X:∣f(x)∣>1}，則
∑n=0∞μ(E)=∑n=0∞∫Edμ≤∑n=0∞∫E∣f∣ndμ≤∑n=0∞∫∣f∣ndμ<∞\sum_{n=0}^{\infty} \mu(E) = \sum_{n=0}^{\infty}\int_E d\mu \le\sum_{n=0}^{\infty}\int_E |f|^nd\mu \le \sum_{n=0}^{\infty}\int |f|^nd\mu<\inftyn=0∑∞?μ(E)=n=0∑∞?∫E?dμ≤n=0∑∞?∫E?∣f∣ndμ≤n=0∑∞?∫∣f∣ndμ<∞
所以μ(E)=0\mu(E)=0μ(E)=0。于是∣f(x)∣≤1,a.e.|f(x)|\le 1,a.e.∣f(x)∣≤1,a.e.
第二問：因為∣f(x)∣≤1,a.e.|f(x)|\le 1,a.e.∣f(x)∣≤1,a.e.，
11?f(x)=∑n=0∞[f(x)]n,a.e.X\frac{1}{1-f(x)} = \sum_{n=0}^{\infty}[f(x)]^n,a.e. X1?f(x)1?=n=0∑∞?[f(x)]n,a.e.X
根據Fatou引理，
∫lim?n→∞∑k=0n∣f∣kdμ≤lim?n→∞∫∑k=0n∣f∣kdμ=lim?n→∞∑k=0n∫∣f∣kdμ=∑n=0∞∫∣f∣ndμ<∞\int \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n |f|^kd\mu \le \lim_{n \to \infty}\int \sum_{k=0}^n |f|^k d\mu \\ = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n\int |f|^k d\mu = \sum_{n=0}^{\infty}\int |f|^nd\mu<\infty∫n→∞lim?k=0∑n?∣f∣kdμ≤n→∞lim?∫k=0∑n?∣f∣kdμ=n→∞lim?k=0∑n?∫∣f∣kdμ=n=0∑∞?∫∣f∣ndμ<∞
因此
∫1∣1?f∣dμ<∞\int \frac{1}{|1-f|}d\mu<\infty∫∣1?f∣1?dμ<∞
于是[1?f(x)]?1[1-f(x)]^{-1}[1?f(x)]?1可積。
總結
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