UA MATH563 概率論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 中心極限定理3 推導(dǎo)一元隨機(jī)變量獨(dú)立性的判斷方法

上一講我們基于測度論定義了事件、事件序列、$\sigma$-代數(shù)與隨機(jī)變量的獨(dú)立性，并給出了基于$\pi ?\lambda$定理導(dǎo)出的獨(dú)立性的判斷方法，這一講我們的目標(biāo)是基于這個判斷方法導(dǎo)出判斷我們最常用的一元隨機(jī)變量獨(dú)立性的方法。我們先列出上一講導(dǎo)出的定理：

定理 假設(shè)${\mathcal{A}}_i,1\le i\le n$是一列獨(dú)立的$\pi$-類，則$\sigma (A_i),1\le i\le n$獨(dú)立。

現(xiàn)在討論隨機(jī)變量$X_i:(\Omega ,\mathcal{F},P)\to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})),1\le i\le n$，上一講我們定義了隨機(jī)變量序列的獨(dú)立性，如果$\sigma (X_i)$互相獨(dú)立，則$X_i$獨(dú)立，其中
$$\sigma (X_i)=\{X_i^{?1}(B):B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}$$

要用定理說明$\sigma (X_i)$互相獨(dú)立，我們需要找到可以生成$\sigma (X_i)$的一個$\pi$-類，回顧一下在實(shí)分析中，我們介紹過Borel代數(shù)的構(gòu)造：

Proposition 1.2 $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ contains all open intervals, closed intervals, half-open intervals, open rays and closed rays.

也就是說Borel代數(shù)可以由一種特定的區(qū)間族生成，我們有下面幾種不同的選項(xiàng)：

$\{(?\infty ,x]:x\in \mathbb{R}\}$

$\{(?\infty ,x):x\in \mathbb{R}\}$

$\{[x,+\infty ):x\in \mathbb{R}\}$

$\{(x,+\infty ):x\in \mathbb{R}\}$

$\{(x,y):x,y\in \mathbb{R}\}$

$\{[x,y]:x,y\in \mathbb{R}\}$

這六種集族每一種都可以生成Borel代數(shù)$\mathcal{B}(\mathbb{R})$，于是接下來我們要做的是分別驗(yàn)證這六種集族以及是否是$\pi$-類，事實(shí)上這六種集族都是$\pi$-類，簡單驗(yàn)證任意兩個集合的交也在集族中即可，下面舉三個例子，剩下的留給讀者。

第一種：$(\infty ,x]\cap (?\infty ,y]=(?\infty ,\min (x,y)]$，所以是$\pi$-類；
第四種：$(x,+\infty )\cap (y,+\infty )=(\max (x,y),+\infty )$，所以是$\pi$-類；
第六種：$[x,y]\cap [a,b]=[\max (a,x),\min (b,y)]$，所以是$\pi$-類。

現(xiàn)在根據(jù)定理，只要集族是獨(dú)立的，那么隨機(jī)變量就是獨(dú)立的，于是我們可以獲得下面六種判別方法：

定理 一元隨機(jī)變量獨(dú)立性的判斷方法
隨機(jī)變量序列$X_i:(\Omega ,\mathcal{F},P)\to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})),1\le i\le n$獨(dú)立的充分條件是（下列六個等價條件中任意一個即可）

$P(X_1\le x_1,?,X_n\le x_n)={\prod }_{i=1}^{n}P(X_i\le x_i)$

$P(X_1<x_1,?,X_n<x_n)={\prod }_{i=1}^{n}P(X_i<x_i)$

$P(X_1\ge x_1,?,X_n\ge x_n)={\prod }_{i=1}^{n}P(X_i\ge x_i)$

$P(X_1>x_1,?,X_n>x_n)={\prod }_{i=1}^{n}P(X_i>x_i)$

$P(x_1\le X_1\le y_1,?,x_n\le X_n\le y_n)={\prod }_{i=1}^{n}P(x_i\le X_i\le y_i)$

$P(x_1<X_1<y_1,?,x_n<X_n<y_n)={\prod }_{i=1}^{n}P(x_i<X_i<y_i)$

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總結(jié)

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