[概統(tǒng)]本科二年級(jí) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第二講 幾何概型

• • 蒲豐投針問題 Buffon's Needle Problem
  • 伯川德悖論 Bertrand Paradox

幾何概型的思想非常簡單，用圖形表示事件，某個(gè)事件的概率就等于事件對(duì)應(yīng)的圖形面積除以所有可能的事件對(duì)應(yīng)的圖形面積。幾何概型可以理解成古典概型的幾何表示，點(diǎn)表示基本事件，相比古典概型只能處理有限的情況，幾何概型的進(jìn)步性在于它可以處理基本事件總數(shù)無限的情況。這一講將介紹兩個(gè)幾何概型名題，作為高中概率論到本科概率論的過渡。

蒲豐投針問題 Buffon’s Needle Problem

這個(gè)問題是1777年由蒲豐提出，這是一種用來估計(jì)圓周率的概率方法。蒲豐設(shè)計(jì)的投針試驗(yàn)步驟如下：

取一張白紙，在上面畫上許多條間距為$a$的平行線；

取一根長度為$l(l\le a)$的針，隨機(jī)地向畫有平行直線的紙上擲$n$次，觀察針與直線相交的次數(shù)，記為$m$；

計(jì)算針與直線相交的理論概率$p$，則當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，$p=m/n$；

下面我們計(jì)算一下投一根針的情況下它與直線相交的理論概率，然后推導(dǎo)估計(jì)圓周率的公式。

考慮一族平行線，$y=ka,k\in \mathbb{Z}$，我們需要一些變量描述針的位置，因?yàn)獒樀拈L度是已知的，平行線的方程與$x$坐標(biāo)無關(guān)，不失一般性，我們假設(shè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$y_0$，針與平行線構(gòu)成的夾角為$\theta$，則$y_0\in (0,a],\theta \in [0,\pi /2]$，因此所有的基本事件可以用集合$\Omega$表示：
$$\Omega =\{(y_0,\theta ):y_0\in (0,a],\theta \in [0,\pi /2]\}$$

現(xiàn)在考慮針與平行線相交的條件，
$$y_0+l\sin \theta \ge a$$

于是針與平行線相交的事件為$A$，
$$A=\{(y_0,\theta ):y_0\in (0,a],\theta \in [0,\pi /2],y_0+l\sin \theta \ge a\}$$

因此
$$p=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{{?}_{A}d{y}_{0}d\theta }{\frac{\pi a}{2}}$$

我們計(jì)算積分，根據(jù)Fubini定理
$$\begin{gathered} {?}_{A}d{y}_{0}d\theta ={\int }_0^{\pi /2}{\int }_{a?l\sin \theta }^{a}d{y}_{0}d\theta \\ ={\int }_0^{\pi /2}l\sin \theta d\theta =l \end{gathered}$$

所以
$$p=\frac{2l}{\pi a}=\frac{m}{n}?\pi =\frac{2nl}{ma}$$

蒲豐投針問題在眾多幾何概型問題中脫穎而出的原因是它是最早把幾何概型作為工具試圖解決其他問題的例子。

伯川德悖論 Bertrand Paradox

伯川德悖論是伯川德在1889年提出來的，這個(gè)悖論最核心的思路在于用來描述基本事件的坐標(biāo)系不一樣，計(jì)算出來的積分結(jié)果會(huì)不一樣，這就導(dǎo)致同一個(gè)事件會(huì)有不一樣的概率，然而這個(gè)悖論在有了微分同胚與積分換元公式之后就自然解決了。

伯川德悖論想討論的是在一個(gè)圓中任選一條弦，要計(jì)算這根弦的長度超過半徑的概率，他提出了三種概率不同的解法：

方法一 隨機(jī)端點(diǎn)法
我們固定一個(gè)端點(diǎn)，然后讓另一個(gè)端點(diǎn)在圓周上任意運(yùn)動(dòng)，連接這兩個(gè)端點(diǎn)就得到了一條弦，過這個(gè)固定的端點(diǎn)只有一個(gè)一條直徑，過這個(gè)端點(diǎn)可以做與這條直徑垂直的直線，考慮這條線與弦構(gòu)成的圓周角，記為$\theta$，則$\theta \in [0,\pi ]$，當(dāng)$\theta \in [\pi /6,5\pi /6]$時(shí)，弦長不小于半徑，于是概率為$2/3$。

方法二 隨機(jī)徑向法
對(duì)于任意的弦，總是可以找到一個(gè)半徑與其垂直，于是我們固定一個(gè)半徑，考慮與它垂直的弦，記垂足與圓心的距離為$x$，則$x\in [0,r]$，這里$r$表示半徑長度，顯然當(dāng)$x\le \sqrt{3}r/2$時(shí)，弦長大于半徑，于是概率為$\sqrt{3}/2$。

方法三 隨機(jī)中點(diǎn)法

我們考慮中點(diǎn)的位置，它可以是圓內(nèi)任意一個(gè)點(diǎn)，要使弦長大于半徑，需要中點(diǎn)距離圓心的位置不大于半徑的$\sqrt{3}/2$，因此概率為$3/4$。

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根據(jù)上文的敘述，我們發(fā)現(xiàn)試驗(yàn)時(shí)選擇的描述隨機(jī)性的變量不同，得到的概率也不同，所以古典概型這個(gè)理論體系是有缺陷的。我們來簡單分析一下缺陷發(fā)生的原因。

下面假設(shè)圓的方程為$x^2+y^2=r^2$，

方法一 隨機(jī)端點(diǎn)法
還是考慮固定一個(gè)端點(diǎn)，將其坐標(biāo)設(shè)置為$(0,?r)$，用$s$表示另一個(gè)端點(diǎn)到固定端點(diǎn)的較短的弧的弧長，則$s\in (0,\pi r]$，用$\Omega$表示所有的基本事件，則
$$\Omega =\{s:s\in (0,\pi r]\}$$

我們可以把弦長用$s$表示為
$$2r\sin \frac{s}{r}$$

用$A$表示弦長大于半徑的事件，
$$A=\{s:2r\sin \frac{s}{r}\ge r\}$$

于是概率為
$$p_1=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{{\int }_{A}ds}{{\int }_{\Omega }ds}$$

方法二 隨機(jī)徑向法
我們考慮$(0,?r)$與原點(diǎn)為端點(diǎn)的半徑，用$x$表示從原點(diǎn)到與這條半徑垂直的弦的垂足的距離，則
$$\Omega =\{x:x\in [0,r)\}$$

弦長可以用$x$表示，
$$2\sqrt{r^2?x^2}$$

用$A$表示弦長大于半徑的事件，
$$A=\{x:2\sqrt{r^2?x^2}\ge r\}$$

于是概率為
$$p_2=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{{\int }_{A}dx}{{\int }_{\Omega }dx}$$

方法三 隨機(jī)中點(diǎn)法
用$(x,y)$表示中點(diǎn)坐標(biāo)，則
$$\Omega =\{(x,y):x^2+y^2\le r^2\}$$

用$A$表示弦長大于半徑的事件，
$$A=\{(x,y):x^2+y^2\le r^2/4\}$$

于是概率為
$$p_3=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{{?}_{A}dxdy}{{?}_{\Omega }dxdy}$$

現(xiàn)在我們用比較專業(yè)的寫法重新敘述了三種方法，如果按照現(xiàn)在的公式積分積出來會(huì)得到和Bertrand一樣的結(jié)果，接下來我們考慮這種不同坐標(biāo)建立方式之間的聯(lián)系。

方法一與方法二
我們可以推導(dǎo)出方法一與方法二中參數(shù)的關(guān)系，
$$2r\sin \frac{s}{r}=2\sqrt{r^2?x^2}$$

于是方法一與方法二的積分區(qū)域?qū)嶋H上是等價(jià)的，然而在積分區(qū)域上這個(gè)隱函數(shù)并不是微分同胚，下圖展示$r=1$的情形，橫軸為$x$，縱軸為$s$
紅線：$2\sin s=2\sqrt{1?x^2}$
紫線：$2\sin s=1$
綠線： $2\sqrt{1?x^2}=1$
方法一中，弦長大于半徑的概率對(duì)應(yīng)于第一象限中綠線到縱軸的距離比上第一象限內(nèi)紅線的橫截距到原點(diǎn)的距離；方法二中，弦長大于半徑的概率對(duì)應(yīng)于兩條紅線的交點(diǎn)到任意一條紫線的距離比上兩條紅線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。注意到三條線總是交于同一點(diǎn)的，這說明在方法一與方法二中，盡管用到的參數(shù)不同，但是對(duì)應(yīng)的事件是相同的。那么為什么會(huì)造成兩種情況概率不同呢？很簡單，就是因?yàn)樵?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$x\in [0,1/2],y\in [0,\pi /2]$這個(gè)窗口中，紅線并不是直線，于是表示幾何概率的兩條線段比例并不相同。

要更詳細(xì)地回答這個(gè)問題就要回顧一下數(shù)學(xué)史，幾何概型在蒲豐投針問題之后開始被普遍接受，但當(dāng)時(shí)被人們所熟知的幾何體系依然是古典幾何也就是歐氏幾何體系，微分幾何尚在發(fā)展之中，所以幾何概型中所用的幾何其實(shí)是古典幾何。然而幾何概型在使用中又確實(shí)觸及到了古典幾何的邊界，因?yàn)樗褂昧藚?shù)化的方式去描述幾何對(duì)象，但又試圖用直角坐標(biāo)系來處理參數(shù)，這背后蘊(yùn)涵的假設(shè)是參數(shù)坐標(biāo)系與真實(shí)的物理坐標(biāo)系之間是一個(gè)線性變換，但如這個(gè)例子（$x\in [0,1/2],y\in [0,\pi /2]$），參數(shù)坐標(biāo)系與真實(shí)的物理坐標(biāo)之間、參數(shù)坐標(biāo)系與參數(shù)坐標(biāo)系之間是微分同胚的關(guān)系，這就脫離了古典幾何的體系，于是導(dǎo)致了悖論的產(chǎn)生。

不過在Bertrand Paradox之后沒過多少年，在Kolmogorov、Markov等數(shù)學(xué)家的努力下，概率論在測(cè)度論的基礎(chǔ)上被正式地公理化了。公理化的積極意義在于當(dāng)我們?cè)诮o定的概率空間中討論問題時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)Bertrand paradox這樣一題多解的困境。然而這也帶來的新的問題，我們?cè)诜治鰡栴}之前需要做出選擇，應(yīng)該如何建立合適的概率空間。

所以Bertrand Paradox到現(xiàn)在也不能說它得到了完美的解決，因?yàn)樗暮诵挠^點(diǎn)在于建立不同的概率模型可能會(huì)導(dǎo)致不同的計(jì)算結(jié)果，而概率論公理化只告訴我們這些不同的計(jì)算結(jié)果在同胚的意義下是等價(jià)的。要進(jìn)一步解釋Bertrand Paradox需要大家學(xué)習(xí)試驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析、抽樣調(diào)查這兩門可，了解不同的試驗(yàn)與采樣方式會(huì)如何造成不同的隨機(jī)性。

方法一與方法三
我們換一種方法敘述方法一，考慮圓$x^2+y^2=r^2$，考慮圓周上的兩個(gè)點(diǎn)，用$s,t$表示這兩個(gè)點(diǎn)的位置，$s,t$表示從$(0,?r)$沿逆時(shí)針方向到這兩個(gè)點(diǎn)的弧長，則$s,t\in [0,2\pi r],s=t$，不妨假設(shè)$s<t$，則用${\Omega }_1$表示方法一的所有基本事件，
$${\Omega }_1=\{(s,t):s<t,s,t\in [0,2\pi r]\}$$

連接這兩個(gè)點(diǎn)的弦長為
$$2r\sin \frac{t?s}{2r}$$

用$A_1$表示弦長大于半徑的事件，則
$$A_1=\{(s,t):2r\sin \frac{t?s}{2r}\ge r\}\cap {\Omega }_1$$

根據(jù)Fubini定理，
$${?}_{{\Omega }_1}dsdt={\int }_0^{2\pi r}{\int }_0^{t}dsdt=2{\pi }^2{r}^2$$

考慮$A_1$，
$$A_1=\{(s,t):\frac{\pi r}{6}\le t?s\le \frac{5\pi r}{6}\}$$

根據(jù)Fubini定理，
$${?}_{A_1}dsdt=\frac{4}{3}{\pi }^2{r}^2$$

于是這種構(gòu)造下，概率也是$1/3$。下面討論坐標(biāo)變換，考慮$s,t$的中點(diǎn)，
$$\{\begin{array}{l}x=\frac{r\sin (s/r?\pi /2)+r\sin (t/r?\pi /2)}{2}\\ y=\frac{r\cos (s/r?\pi /2)+r\cos (t/r?\pi /2)}{2}\end{array}$$

顯然$(x,y)$與$(s,t)$是微分同胚，根據(jù)積分換元公式
$${?}_{A_1}dsdt={\int }_{A_1(x,y)}|\frac{?(s,t)}{?(x,y)}|dxdy$$

可以得到方法一與方法三的聯(lián)系，后續(xù)留給讀者自行探索。

注 關(guān)于Bertrand paradox，更嚴(yán)謹(jǐn)更詳細(xì)的討論可以參考Bertrand’s Paradox Revisited: More Lessons about that Ambiguous Word, Random

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[概统]本科二年级 概率论与数理统计 第二讲 几何概型的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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