UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理10 Borel-Cantelli引理

這一講我們介紹一個非常重要的結果，Borel-Cantelli引理，先引入一些基本概念。

假設$(\Omega ,\mathcal{F},P)$是一個概率空間：

$$\mathrm{limsup}{A}_n={\cap }_{m\ge 1}{\cup }_{n\ge m}{A}_n=\{w:w屬于無數個事件A_n\}$$

我們把這個事件簡記為$\{A_{n}i.o.\}$ (infinitely often)；
$$\mathrm{liminf}{A}_n={\cup }_{m\ge 1}{\cap }_{n\ge m}{A}_n=\{w:w屬于所有的A_n,n\ge m_0\}$$

我們把這個事件簡記為$\{A_{n}e.v.\}$ (eventually)；關于這兩個定義有下面的性質：

$\{A_{n}i.o.\}?\{A_{n}e.v.\}$

$\{A_{n}i.o.{\}}^C=\{A_n^{C}e.v.\}$

如果$A_n\uparrow$，則$\{A_{n}i.o.\}=\{A_{n}e.v.\}={\cup }_{k\ge 1}{A}_k$

如果$A_n\downarrow$，則$\{A_{n}i.o.\}=\{A_{n}e.v.\}={\cap }_{k\ge 1}{A}_k$

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引理1 $E|X|<\infty$，的充要條件是$??>0$，
$$\sum _{n\ge 0}P(|X|>n?)<\infty$$

證明
$$\sum _{n\ge 0}P(|X|>n?)=\sum _{n\ge 0}E[1_{|X|>n?}]=E[\sum _{n\ge 0}{1}_{|X|>n?}]=E[?|X|/??]$$

最后那一項下半方括號表示不大于$|X|/?$的最大整數。

$?$: 如果$E|X|<\infty$，則
$$E[?|X|/??]\le E[|X|/?]=E|X|/?<\infty$$

$?$: 如果$??>0$，
$$\sum _{n\ge 0}P(|X|>n?)<\infty$$

取$?=1$，則
$$+\infty >\sum _{n\ge 0}P(|X|>n?)=E[?|X|/??]=E[?|X|?]\ge E|X|?1$$

于是$E|X|<\infty$

推論
$E[|X{|}^k]<\infty$的充要條件是$??>0$，
$$\sum _{n\ge 0}P(|X{|}^k>n?)<\infty ,?k\ge 1$$

引理2
$$P({\cup }_{n\ge m}{A}_n)=1,?m\ge 1?P({\cap }_{m\ge 1}{\cup }_{n\ge m}{A}_n)=1$$

證明
$$\{A_{n}i.o.{\}}^C={\cup }_{m\ge 1}({\cup }_{n\ge m}{A}_n{)}^C$$

所以
$$P(\{A_{n}i.o.{\}}^C=P({\cup }_{m\ge 1}({\cup }_{n\ge m}{A}_n{)}^C)\le \sum _{m\ge 1}P(({\cup }_{n\ge m}{A}_n{)}^C)=0$$

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Borel-Cantelli引理1 如果${\sum }_{n\ge 1}P(A_n)<\infty$，則$P(A_{n}i.o.)=0$

證明
$?m_0\ge 1$, 根據概率的次可加性，
$$P(A_{n}i.o.)=P({\cap }_{m\ge 1}{\cup }_{n\ge m}{A}_n)\le P({\cup }_{n\ge m_0}{A}_n)\le \sum _{n\ge m_0}P(A_n)$$

于是
$$P(A_{n}i.o.)=\underset{m_0\to \infty }{\lim }\sum _{n\ge m_0}P(A_n)=0$$

例
比如$A_n=(0,1/n)$，$\Omega =(0,1)$，則
$$\mathrm{limsup}{A}_n=\mathrm{liminf}{A}_n=?$$

也就是說$P(A_{n}i.o.)=0$，用幾何概型
$$\sum _{n\ge 1}P(A_n)=\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n}=\infty$$

這是不是就說明Borel-Cantelli引理1不成立呢？

答案是不，因為Borel-Cantelli引理1的逆命題是不成立的，也就是說如果$P(A_{n}i.o.)=0$，我們推不出${\sum }_{n\ge 1}P(A_n)<\infty$。

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Borel-Cantelli引理2 如果$A_n$互相獨立，且${\sum }_{n\ge 1}P(A_n)=\infty$，則$P(A_{n}i.o.)=1$

證明
根據引理2，我們只需證明$P({\cup }_{n\ge m}{A}_n)=1,?m\ge 1$即可，考慮
$$\begin{gathered} 1?P({\cup }_{n=m}^N{A}_n)=P({\cap }_{n=m}^N{A}_n^C)=\prod _{n=m}^{N}P(A_n^C) \\ =\prod _{n=m}^N(1?P(A_n))\le e^{?{\sum }_{n=m}^{N}P(A_n)}\to 0 \end{gathered}$$

最后一步用的Bernoulli不等式$1?x\le e^{?x}$，因此$P({\cup }_{n\ge m}{A}_n)=1$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理10 Borel-Cantelli引理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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