UA MATH567 高维统计II 随机向量9 图的Max-cut问题 0.878近似算法
UA MATH567 高維統(tǒng)計II 隨機向量9 圖的Max-cut問題 0.878近似算法
上一講我們用整數(shù)規(guī)劃對MAX-CUT問題建了模，CUT(G,x)=12∑xixj=?1Aij=14∑i,jAij(1?xixj)=14∑i,jAij?14∑i,jAijxixjCUT(G,x)=\frac{1}{2}\sum_{x_ix_j=-1}A_{ij} = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-x_ix_j) \\ = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}-\frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij} x_ix_jCUT(G,x)=21?xi?xj?=?1∑?Aij?=41?i,j∑?Aij?(1?xi?xj?)=41?i,j∑?Aij??41?i,j∑?Aij?xi?xj?第一項是常數(shù)，于是
MAX?CUT(G)=max?xCUT(G,x)?min?x∈{?1,1}nxTAxMAX-CUT(G)=\max_x CUT(G,x) \Leftrightarrow \min_{x \in \{-1,1\}^n} x^TAxMAX?CUT(G)=xmax?CUT(G,x)?x∈{?1,1}nmin?xTAx并且我們給了一個0.5 approximation algorithm，這一講我們討論一個更先進的0.878-approximation algorithm。
上上上講我們介紹了用半正定規(guī)劃近似整數(shù)規(guī)劃，既然MAX-CUT問題可以用整數(shù)規(guī)劃建模，那么我們也可以用半正定規(guī)劃來近似MAX?CUT(G)MAX-CUT(G)MAX?CUT(G)，也就是
SDP(G)=14max?∥Xi∥2=1{∑i,jAij(1??Xi,Xj?)}SDP(G)=\frac{1}{4}\max_{\left\| X_i \right\|_2=1}\{\sum_{i,j}A_{ij}(1-\langle X_i,X_j \rangle)\}SDP(G)=41?∥Xi?∥2?=1max?{i,j∑?Aij?(1??Xi?,Xj??)}
根據(jù)relaxation的性質(zhì)，
SDP(G)≥MAX?CUT(G)SDP(G) \ge MAX-CUT(G)SDP(G)≥MAX?CUT(G)
下面我們推導(dǎo)用半正定規(guī)劃近似max-cut的效果：
假設(shè)X1,?,XnX_1,\cdots,X_nX1?,?,Xn?是SDP(G)SDP(G)SDP(G)的解，我們做random rounding，即定義g～N(0,In)g \sim N(0,I_n)g～N(0,In?)，定義xi=sgn(?Xi,g?)x_i = sgn(\langle X_i,g \rangle)xi?=sgn(?Xi?,g?)，使用x=(x1,?,xn)x = (x_1,\cdots,x_n)x=(x1?,?,xn?)，我們可以計算ECUT(G,x)ECUT(G,x)ECUT(G,x)，可以證明
ECUT(G,x)≥0.878SDP(G)≥0.878MAX?CUT(G)ECUT(G,x) \ge 0.878 SDP(G) \ge 0.878MAX-CUT(G)ECUT(G,x)≥0.878SDP(G)≥0.878MAX?CUT(G)
稱這個近似為0.878-approximation algorithm。
引理 Grothendieck恒等式
u,v∈Sn?1u,v \in S^{n-1}u,v∈Sn?1，g∈N(0,In)g \in N(0,I_n)g∈N(0,In?)，則
E(sgn?g,u?sgn?g,v?)=2πarcsin??u,v?E(sgn \langle g,u \rangle sgn\langle g,v \rangle)=\frac{2}{\pi}\arcsin \langle u,v \rangleE(sgn?g,u?sgn?g,v?)=π2?arcsin?u,v?
證明
假設(shè)u,vu,vu,v的夾角(nnn維單位球的球心角)為θ\thetaθ，則
sgn?g,u?sgn?g,v?={1,withprob1?π/θ?1,withprobπ/θsgn \langle g,u \rangle sgn\langle g,v \rangle = \begin{cases} 1, with \ prob \ 1-\pi/\theta \\ -1,with \ prob \ \pi/\theta \end{cases}sgn?g,u?sgn?g,v?={1,with?prob?1?π/θ?1,with?prob?π/θ?
因此
E[sgn?g,u?sgn?g,v?]=π?2θπE[sgn \langle g,u \rangle sgn\langle g,v \rangle]=\frac{\pi -2\theta}{\pi}E[sgn?g,u?sgn?g,v?]=ππ?2θ?
其中θ=arccos??u,v?\theta = \arccos\langle u,v \rangleθ=arccos?u,v?，
E[sgn?g,u?sgn?g,v?]=2π(π2?arccos??u,v?)=2πarcsin??u,v?E[sgn \langle g,u \rangle sgn\langle g,v \rangle] = \frac{2}{\pi}(\frac{\pi}{2}-\arccos\langle u,v \rangle) \\ = \frac{2}{\pi}\arcsin \langle u,v \rangleE[sgn?g,u?sgn?g,v?]=π2?(2π??arccos?u,v?)=π2?arcsin?u,v?
證明0.878近似
ECUT(G,x)=E14∑i,jAij(1?xixj)=14∑i,jAij(1?Exixj)=14∑i,jAij(1?Esgn(?Xi,g?)sgn(?Xj,g?))=14∑i,jAij(1?2πarcsin??Xi,Xj?)ECUT(G,x) =E\frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-x_ix_j) = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-Ex_ix_j) \\ =\frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-Esgn(\langle X_i,g \rangle)sgn(\langle X_j,g \rangle)) \\ = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-\frac{2}{\pi}\arcsin \langle X_i,X_j \rangle) ECUT(G,x)=E41?i,j∑?Aij?(1?xi?xj?)=41?i,j∑?Aij?(1?Exi?xj?)=41?i,j∑?Aij?(1?Esgn(?Xi?,g?)sgn(?Xj?,g?))=41?i,j∑?Aij?(1?π2?arcsin?Xi?,Xj??)
最后一步用的Grothendieck恒等式。我們繼續(xù)計算
14∑i,jAij(1?2πarcsin??Xi,Xj?)=14∑i,jAij2πarccos??Xi,Xj?\frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-\frac{2}{\pi}\arcsin \langle X_i,X_j \rangle) = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}\frac{2}{\pi}\arccos \langle X_i,X_j \rangle41?i,j∑?Aij?(1?π2?arcsin?Xi?,Xj??)=41?i,j∑?Aij?π2?arccos?Xi?,Xj??
希望看到的結(jié)果是
2πarccos??Xi,Xj?≥C(1??Xi,Xj?)\frac{2}{\pi}\arccos \langle X_i,X_j \rangle \ge C(1- \langle X_i,X_j \rangle)π2?arccos?Xi?,Xj??≥C(1??Xi?,Xj??)
這樣我們就可以得到
ECUT(G,x)≥C×SDP(G)ECUT(G,x) \ge C \times SDP(G)ECUT(G,x)≥C×SDP(G)
畫出2arccos?(x)π(1?x)\frac{2\arccos (x)}{\pi(1-x)}π(1?x)2arccos(x)?的圖像，就可以發(fā)現(xiàn)0.878是最小值了（0.879是近似的結(jié)果）
總結(jié)
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