UA MATH563 概率論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 中心極限定理15 Kolmogorov 0-1律

如果是初見(jiàn)的話(huà)會(huì)覺(jué)得Kolmogorov 0-1律看上去很奇怪，但它在概率論中有很廣泛的應(yīng)用，這一講我們簡(jiǎn)單介紹一下Kolmogorov 0-1律。

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假設(shè)$\{X_j{\}}_{j\ge 1}$是$(\Omega ,\mathcal{F},P)$上的一列實(shí)值隨機(jī)變量，定義
$${\mathcal{F}}_n=\sigma \{X_{n+1},X_{n+2},?\}$$

定義tail $\sigma$-代數(shù)為
$$\tau ={\cap }_{n\ge 1}{\mathcal{F}}_n$$

稱(chēng)$\tau$中的事件為tail event，稱(chēng)$\tau$-可測(cè)的隨機(jī)變量為tail random variable。

例 考慮下列事件是否是tail event：$B_n\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$

$\{w\in \Omega :{\sum }_{j\ge 1}{X}_j(w)converges\}$

$\{w\in \Omega :{\sum }_{j\ge 1}{X}_j(w)=2\}$

$\{w\in \Omega :?{\lim }_n{X}_n(w)\}$

$\{w\in \Omega :X_n(w)\in B_{n}i.o.\}$

$\{w\in \Omega :X_n(w)\in B_{n}e.v.\}$

$\{w\in \Omega :{\lim }_n{S}_n(w)/n=4\}$

先說(shuō)答案，除了第二個(gè)不是tail event，其他的都是tail event。有一種比較直觀的方法是看事件是否受到$X_1$或者$X_1,?,X_c$的影響，$c<<n$，比如第二個(gè)事件中的級(jí)數(shù)顯然是每一項(xiàng)都非常重要，2的值主要是由前幾項(xiàng)給出來(lái)的，后續(xù)的無(wú)窮項(xiàng)都為0，第一項(xiàng)與第二項(xiàng)的區(qū)別在于第一項(xiàng)只要求級(jí)數(shù)收斂，而不需要給定級(jí)數(shù)的值，因此按照級(jí)數(shù)收斂性的判定，它與前幾項(xiàng)并無(wú)關(guān)系。其他事件與前幾項(xiàng)都無(wú)關(guān)系，比如第三項(xiàng)和第六項(xiàng)的極限，極限討論的就是尾部性質(zhì)，所以自然是尾部事件，第四項(xiàng)與第五項(xiàng)根據(jù)定義就知道與前幾項(xiàng)無(wú)關(guān)。

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Kolmogorov 0-1律
假設(shè)$\{X_j{\}}_{j\ge 1}$獨(dú)立，則$\tau$是一個(gè)trivial $\sigma$-代數(shù)，即
$$?A\in \tau ,P(A)=0or1$$

評(píng)述
回顧一下強(qiáng)大數(shù)定律(Kolmogorov)，假設(shè)$X_1,?,X_n,n\ge 1$是iid的隨機(jī)變量，$E|X_1|<\infty$，則
$$\bar{X}{\to }_{as}E{X}_1$$

記$A=\{w\in \Omega :S_n(w)/n\to E{X}_1\}$，上面的例題第六條說(shuō)明$A\in \tau$，根據(jù)Kolmogorov 0-1律，$P(A)=0or1$，但實(shí)際上Kolmogorov 0-1律只能給出這個(gè)結(jié)果了，因?yàn)楸M管我們知道了這個(gè)概率要么是0，要么是1，但我們?cè)谟?jì)算這個(gè)概率前也是不知道它到底是0還是1的，但至少Kolmogorov 0-1律可以作為一個(gè)必要條件。

證明
有一個(gè)非常有用的觀察：
$$P(A)=0or1?P(A\cap A)=P(A)=P(A)P(A)$$

也就是說(shuō)$A$與自己獨(dú)立，于是我們可以通過(guò)說(shuō)明$A$與自己獨(dú)立來(lái)證明Kolmogorov 0-1律。

因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$A\in \tau$，所以$?N\in \mathbb{N}$, $?m\ge N$, $A\in {\mathcal{F}}_m$，記${\mathcal{G}}_n=\sigma \{X_1,?,X_n\}$，如果$n<m$，則${\mathcal{G}}_n$與$A$獨(dú)立，進(jìn)一步可以得到$A$與${\cup }_{n\ge 1}{\mathcal{G}}_n$獨(dú)立，記$C_1=\{A\},C_2={\cup }_{n\ge 1}{\mathcal{G}}_n$，則$C_1,C_2$都是$\pi$-類(lèi)：

$C_2$是$\pi$-類(lèi)因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$E_1,E_2\in C_2$, $?n_1,n_2,E_1\in {\mathcal{G}}_1,E_2\in {\mathcal{G}}_2$，$E_1\cap E_2\in {\mathcal{G}}_{\max (n_1,n_2)}?C_2$。

因此$\sigma (C_1)$與$\sigma (C_2)$獨(dú)立，其中$\sigma (C_2)=\sigma \{X_1,X_2,?\}$, $\sigma (C_1)=\{?,A,A^C,\Omega \}$，因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$A\in \tau ?\sigma \{X_1,X_2,?\}$，于是$A$與自己獨(dú)立。

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總結(jié)

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