UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理15 Kolmogorov 0-1律

如果是初見的話會覺得Kolmogorov 0-1律看上去很奇怪，但它在概率論中有很廣泛的應用，這一講我們簡單介紹一下Kolmogorov 0-1律。

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假設$\{X_j{\}}_{j\ge 1}$是$(\Omega ,\mathcal{F},P)$上的一列實值隨機變量，定義
$${\mathcal{F}}_n=\sigma \{X_{n+1},X_{n+2},?\}$$

定義tail $\sigma$-代數為
$$\tau ={\cap }_{n\ge 1}{\mathcal{F}}_n$$

稱$\tau$中的事件為tail event，稱$\tau$-可測的隨機變量為tail random variable。

例 考慮下列事件是否是tail event：$B_n\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$

$\{w\in \Omega :{\sum }_{j\ge 1}{X}_j(w)converges\}$

$\{w\in \Omega :{\sum }_{j\ge 1}{X}_j(w)=2\}$

$\{w\in \Omega :?{\lim }_n{X}_n(w)\}$

$\{w\in \Omega :X_n(w)\in B_{n}i.o.\}$

$\{w\in \Omega :X_n(w)\in B_{n}e.v.\}$

$\{w\in \Omega :{\lim }_n{S}_n(w)/n=4\}$

先說答案，除了第二個不是tail event，其他的都是tail event。有一種比較直觀的方法是看事件是否受到$X_1$或者$X_1,?,X_c$的影響，$c<<n$，比如第二個事件中的級數顯然是每一項都非常重要，2的值主要是由前幾項給出來的，后續的無窮項都為0，第一項與第二項的區別在于第一項只要求級數收斂，而不需要給定級數的值，因此按照級數收斂性的判定，它與前幾項并無關系。其他事件與前幾項都無關系，比如第三項和第六項的極限，極限討論的就是尾部性質，所以自然是尾部事件，第四項與第五項根據定義就知道與前幾項無關。

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Kolmogorov 0-1律
假設$\{X_j{\}}_{j\ge 1}$獨立，則$\tau$是一個trivial $\sigma$-代數，即
$$?A\in \tau ,P(A)=0or1$$

評述
回顧一下強大數定律(Kolmogorov)，假設$X_1,?,X_n,n\ge 1$是iid的隨機變量，$E|X_1|<\infty$，則
$$\bar{X}{\to }_{as}E{X}_1$$

記$A=\{w\in \Omega :S_n(w)/n\to E{X}_1\}$，上面的例題第六條說明$A\in \tau$，根據Kolmogorov 0-1律，$P(A)=0or1$，但實際上Kolmogorov 0-1律只能給出這個結果了，因為盡管我們知道了這個概率要么是0，要么是1，但我們在計算這個概率前也是不知道它到底是0還是1的，但至少Kolmogorov 0-1律可以作為一個必要條件。

證明
有一個非常有用的觀察：
$$P(A)=0or1?P(A\cap A)=P(A)=P(A)P(A)$$

也就是說$A$與自己獨立，于是我們可以通過說明$A$與自己獨立來證明Kolmogorov 0-1律。

因為$A\in \tau$，所以$?N\in \mathbb{N}$, $?m\ge N$, $A\in {\mathcal{F}}_m$，記${\mathcal{G}}_n=\sigma \{X_1,?,X_n\}$，如果$n<m$，則${\mathcal{G}}_n$與$A$獨立，進一步可以得到$A$與${\cup }_{n\ge 1}{\mathcal{G}}_n$獨立，記$C_1=\{A\},C_2={\cup }_{n\ge 1}{\mathcal{G}}_n$，則$C_1,C_2$都是$\pi$-類：

$C_2$是$\pi$-類因為$E_1,E_2\in C_2$, $?n_1,n_2,E_1\in {\mathcal{G}}_1,E_2\in {\mathcal{G}}_2$，$E_1\cap E_2\in {\mathcal{G}}_{\max (n_1,n_2)}?C_2$。

因此$\sigma (C_1)$與$\sigma (C_2)$獨立，其中$\sigma (C_2)=\sigma \{X_1,X_2,?\}$, $\sigma (C_1)=\{?,A,A^C,\Omega \}$，因為$A\in \tau ?\sigma \{X_1,X_2,?\}$，于是$A$與自己獨立。

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總結

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