UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理22 度量概率空間中的弱收斂 Portmanteau定理

現在我們討論度量空間中的弱收斂，假設$(\Omega ,d)$是一個度量空間，$(\Omega ,\mathcal{F},P)$是一個概率空間，$X_n,X$是定義在$\Omega$上的隨機變量，它們的分布為${\mu }_n,\mu$。

Portmanteau定理
關于依分布收斂，下面的敘述等價：

$X_n{\to }_{d}X$

對任意開集$G$，$\mathrm{liminf}P(X_n\in G)\ge P(X\in G)$

對任意閉集$K$，$\mathrm{limsup}P(X_n\in K)\le P(X\in K)$

對任意集合$A$，如果$P(X\in ?A)=0$，則$\lim P(X_n\in A)=P(X\in A)$

關于弱收斂，下面的敘述等價：

${\mu }_n?\mu$

對任意開集$G$，$\mathrm{liminf}{\mu }_n(G)\ge \mu (G)$

對任意閉集$K$，$\mathrm{limsup}{\mu }_n(K)\le \mu (K)$

對任意集合$A$，如果$\mu (?A)=0$，則$\mu (A_n)\to \mu (A)$

證明的路徑是$1?3?2?4?1$，貼一份Durrett的證明

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總結

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