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UA MATH567 高维统计II 随机向量8 图的Max-cut问题 0.5近似算法的运行时间分析

發(fā)布時間：2025/4/14 编程问答 41 豆豆

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UA MATH567 高維統(tǒng)計II 隨機向量8 圖的Max-cut問題 0.5近似算法的運行時間分析

我們之前討論了圖的max-cut問題的0.5近似算法，也就是給定一張圖，按擲硬幣的概率決定是否切開一條邊，這樣的算法平均能切開一半的邊：

$CUT(G,x)=12∑xixj=?1Aij=14∑i,jAij(1?xixj)=14∑i,jAij?14∑i,jAijxixjCUT(G,x)=\frac{1}{2}\sum_{x_ix_j=-1}A_{ij} = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-x_ix_j) \\ = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}-\frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij} x_ix_j$

假設(shè) $\sim Unif(\{-1,1\}^n)$ ，則
$ECUT(G,x)=12∣E∣≥12MAX?CUT(G)ECUT(G,x)=\frac{1}{2}|E| \ge \frac{1}{2}MAX-CUT(G)$

說明
$=E\frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-x_ix_j) = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-Ex_ix_j) \\ = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-Ex_iEx_j) =\frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij} = \frac{1}{2}|E|$

也就是說我們按均勻分布的思路隨機對每個頂點分類，這樣得到的分割平均可以“切開”一半的邊，稱這個結(jié)果為0.5-approximation algorithm。

現(xiàn)在我們討論一下這個算法需要的時間，也就是經(jīng)過多少次"切割"我們才能得到0.5近似。

為了便于討論， $??>0\forall \epsilon>0$ ，我們分析 $(0.5??)(0.5-\epsilon)$ -近似算法：
$\ge (0.5-\epsilon)MAX-CUT(G)$

嘗試找到它的平均運行時間。記
$P?=P(CUT(G,x)≥(0.5??)MAX?CUT(G))P_{\epsilon}=P(CUT(G,x) \ge (0.5-\epsilon)MAX-CUT(G))$

則平均運行時間與 $1/P?1/P_{\epsilon}$ 成正比，根據(jù)定義
$\ge \frac{1}{2}MAX-CUT(G) \\ ECUT(G,x) \le P_{\epsilon}MAX-CUT(G) \\+(1-P_{\epsilon})(0.5-\epsilon)MAX-CUT(G))$

于是
$12MAX?CUT(G)≤P?MAX?CUT(G)+(1?P?)(0.5??)MAX?CUT(G))\frac{1}{2}MAX-CUT(G) \le P_{\epsilon}MAX-CUT(G) \\+(1-P_{\epsilon})(0.5-\epsilon)MAX-CUT(G))$

消去 $M A X ? C U T (G)$ ，我們可以得到
$P?≥?0.5+?P_{\epsilon}\ge \frac{\epsilon}{0.5+\epsilon}$

于是預(yù)計的抽樣次數(shù)為
$1/P?≤1+12?1/P_{\epsilon} \le 1+\frac{1}{2\epsilon}$

總結(jié)

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