UA PHYS515 電磁理論I 麥克斯韋方程組基礎1 庫侖定律與畢奧-薩伐爾定律

• • Coulomb定律與電場
  • Biot-Savart定律與磁場

寫在前面

電磁理論是物理學中最優美的理論之一，因為它完備又精確，因此無論你是否正在學習物理，都應該來了解一下電磁理論，看看Maxwell方程，理解它為什么可以準確地描述電磁現象。

這個系列的博客是俺筆記的翻譯，是俺學校做宇宙理論的Fulvio Melia老教授的課，他有自己的電動力學的教材，就叫electrodynamics，他的課就是按他的教材來講的。這個教材有八章，一學年上完，每學期講四章。因為Maxwell方程不是通過物理理論建立的模型，而是把一些實驗定律總結起來形成的描述電磁場的方程組，這些實驗定律分為兩類，一類是描述電場與磁場如何形成與演化的，另一類是描述電場與磁場怎么對電子產生作用的，第一章就是介紹相關的實驗定律，然后總結得到Maxwell方程，并且介紹一些理解與應用Maxwell方程的數學知識。第二章介紹用Maxwell方程處理靜電場與靜磁場問題的方法；第三章介紹用Maxwell處理時變電場與磁場的方法；第四章介紹電磁波與輻射，但是是簡化的版本，因為電磁波傳播速度是光速級別的，所以要準確描述電磁波需要相對論，第五章到第七章就是引入相對論工具來研究電磁現象，第八章是一些電磁理論的專題。

以上都是經典電動力學的內容，經典電動力學的思路是電磁場由電荷產生，而電磁場在演化過程中又會反過來作用于電荷，于是就形成了電荷與電磁場互相影響的復雜系統。量子電動力學則認為電磁場自身也是含有電荷的，所以量子電動力學的相關方程更加復雜。

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這一講我們介紹Coulomb定律與Biot-Savart定律，雖然大家從高二開始就在學習這些內容，但我們還是要回顧總結一下并且試圖挖掘一些新的信息。

Coulomb定律與電場

先說場(field)這個概念，它指的是四維時空中連續變化的物理量，比如某種材料的溫度場是一個標量場，指的是這種材料每個位置的溫度分布規律；某個剛體的速度場是一個矢量場，指的是這個剛體每個位置的速度分布規律。但是溫度與速度都是我們能夠以某種方法觀察到的，甚至直接就能用肉眼看到的，那么對于電場這種比較抽象的東西又如何觀測呢？

首先它是一個場，說明它是某個在四維時空中連續變化的物理量，我們用電場強度表示它，記為$E(r,t)$。我們用一個電荷量為$q$的測試電荷(test charge)放在電場中位置為$r$的地方，如果它受到的靜電力為$F$，則
$$E(r,t)=\underset{q\to 0}{\lim }\frac{F}{q}$$

這個定義與大家高中接觸的有所不同，高中的定義是$F/q$，這里加了一個極限有兩個好處：

$F/q$的作用是去掉電荷的影響，因為電場的存在是客觀的，去掉這個測試電荷之后電場還在；

取極限的作用是我們希望測試電荷足夠小以至于對這個客觀存在的電場不會造成我們無法預知的影響；

Coulomb定律是一個實驗定律，它回答了靜電場如何對電荷施加力，考慮由靜止電荷$Q$產生的電場，在位移為$r$的地方的測試電荷$q$受到的力為
$$F=\frac{qQ}{r^2}\frac{r}{{\Vert r\Vert }_2}$$

Coulomb認為靜電場對電荷產生的力只與這兩個電荷及其相對位置有關，但Faraday用實驗說明了電場力的作用需要電介質(dielectric)，Maxwell基于Faraday的實驗結論引入了stress-energy tensor來表示電介質對電場力的影響。

Biot-Savart定律與磁場

如果是運動電荷，那么在它的運動過程中還會產生磁場，畢奧-薩伐爾通過實驗總結出了勻速運動的電荷產生的磁場的磁場強度公式：
$$B=\frac{Qv\times r}{r^2{\Vert r\Vert }_2}$$

這里的$v$是這個運動電荷的速度，$Q$是它帶的電荷量。

Lorenz通過實驗說明了磁場力的存在，并發現同時存在電場與磁場時，運動電荷受到的力的作用的規律，也就是我們熟悉的洛倫茲力，
$$F=q(E+v\times B)$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础1 库仑定律与毕奥-萨伐尔定律的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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