UA PHYS515 電磁理論I 麥克斯韋方程組基礎4 介質中的麥克斯韋方程

• • 推導介質中的麥克斯韋方程
  • 電位移矢量與輔助磁場強度

推導介質中的麥克斯韋方程

前三講我們介紹了真空中的麥克斯韋方程的建立，這一講我們討論介質中的麥克斯韋方程。我們在真空中的分析聚焦于自由電荷與自由電荷流動，在引入介質后，除了自由電荷與自由電荷流動外，在介質中還存在介質自有電荷與潛在的電荷流動，因此
$$\begin{gathered} \rho ={\rho }_{free}+{\rho }_{bond} \\ J=J_{free}+J_{bond} \end{gathered}$$

回顧一下Maxwell方程，
$$\begin{gathered} ??E=4\pi \rho \\ ??B=0 \\ ?\times E=?\frac{?B}{?t} \\ ?\times B=4\pi J+\frac{?E}{?t} \end{gathered}$$

在介質中，第一個方程要被修改為
$$??E=4\pi ({\rho }_{free}+{\rho }_{bond})$$

我們可以簡單回憶一下電場對介質的效應，當介質中存在電場時，介質中會形成dipole（偶極子），偶極子激發出的電場與介質中的電場方向相反，這個過程被稱為介質的polarization（極化），引入polarization vector $P$，則
$${\rho }_{bond}=???P$$

所以
$$??(E+4\pi P)=4\pi \rho$$

以后未特別說明，$\rho$都表示自由電荷密度。引入dielectric displacement vector（介電位移矢量），則
$$??D=4\pi \rho$$

最后一個方程要利用Ampere定律與電荷守恒重新推導，安培定律為

$$?\times B=4\pi J=4\pi (J_{free}+J_{bond})$$

同樣的，我們回顧一下在介質被磁化的過程，引入的是magnetization vector $M$，則磁化電流密度可以表示為
$$J_{bond}=?\underset{S(l)\to 0}{\lim }\frac{1}{S(l)}{\oint }_{l}M?dl=??\times M$$

所以
$$?\times (B+4\pi M)=4\pi J$$

以后未特別說明，$J$都表示自由電流密度，引入輔助向量$H$，它表示被原磁場與介質被磁化激發出的磁場的疊加，則
$$?\times H=4\pi J$$

回顧我們上一講導出的電荷守恒
$$\frac{?\rho }{?t}+??J=0$$

結合我們用電位移矢量修正的Gauss方程，

$$??(J+\frac{1}{4\pi }\frac{?D}{?t})=0$$

根據這個方程修正安培定律，我們可以得到：
$$?\times H?\frac{?D}{?t}=4\pi J$$

綜上，介質中的麥克斯韋方程為
$$\begin{gathered} ??D=4\pi \rho \\ ??B=0 \\ ?\times E=?\frac{?B}{?t} \\ ?\times H?\frac{?D}{?t}=4\pi J \end{gathered}$$

電位移矢量與輔助磁場強度

介質中的麥克斯韋方程有效方程數仍然是8個，但未知量卻有了12個，這樣方程數又不夠了。所以我們需要研究一下面兩組關系：
$$\begin{gathered} D=D(E,B) \\ H=H(E,B) \end{gathered}$$

幸好我們在本科電磁學就學過，介質中激發的電場、磁場與空間中的電場、磁場的關系，不過現在我們用更數學的方式來定義：

各向同性介質
如果介質滿足
$$\begin{gathered} D=?E \\ H=\frac{B}{\mu } \end{gathered}$$

就稱這樣的介質為各向同性介質，其中$?$是permittivity（介電常數），$\mu$是magnetic permeability（磁導率）。

線性介質
如果介質滿足
$$\begin{gathered} D_i=\sum {?}_{ij}{E}_j,i,j=x,y,z \\ {H}_j=\sum {\mu }_{jk}^{\prime }{B}_k,j,k=x,y,z \end{gathered}$$

就稱這樣的介質為線性介質，其中$({?}_{ij})$是permittivity tensor，$({\mu }_{jk}^{\prime })$是inverse magnetic permeability tensor，
$${\mu }_{jk}^{\prime }=\frac{1}{{\mu }_{jk}}$$

從實用的角度出發，我們一般就使用這兩種關于介質的假設，如果是專門研究材料的話會討論具有其他類型的電介質與磁介質。

評注1
麥克斯韋方程的未知量是場，與經典力學討論的粒子在數學上是有很大區別的，因為經典力學中粒子的運動只需要一組初始條件就能確定了，邊界條件不會對粒子運動的全過程造成影響；然而邊界條件對場的影響非常大，會影響場在整個區域內的分布與演化。從數學的角度理解，經典力學的模型大多是微分方程初值問題；電磁理論的模型大多是邊值問題。

評注2
既然現在我們研究的場，我們需要把單個電荷或者一系列電荷表示為電荷密度的技術，為此我們引入Dirac函數$\delta (x)$，滿足

$\delta (x)=0,?x=0$

${\int }_{?\infty }^{+\infty }\delta (x)dx=1$

假設我們有電荷量為$\{e_i{\}}_{i=1}^n$，位置為$\{r_i{\}}_{i=1}^n$的一系列電荷，它們的電荷密度為
$$\rho (r)=\sum _{i=1}^n{\delta }^{(3)}(r?r_i)e_i$$

其中
$${\delta }^3(r)=\delta (x)\delta (y)\delta (z)$$

還有一個需要注意的概念性的問題，電荷密度的單位是$C/m^3$，電荷的單位是$C$，所以$\delta (r)$的單位是$1/m^3$。這是因為
$${\int }_{?\infty }^{+\infty }\delta (x)dx=1$$

其中1沒有量綱，$x$表示$x$方向的距離，所以$\delta (x)$的單位是$1/m$，于是$\delta (r)$的單位是$1/m^3$。

同樣地，假設我們有電荷量為$\{e_i{\}}_{i=1}^n$，位置為$\{r_i{\}}_{i=1}^n$，速度為$\{v{\}}_{i=1}^n$的一系列運動電荷，則電流密度為
$$J(r)=\sum _{i=1}^n{\delta }^{(3)}$$

總結

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