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UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础5 电动力学的四类问题与对应的麦克斯韦方程

發布時間：2025/4/14 编程问答 56 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础5 电动力学的四类问题与对应的麦克斯韦方程小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

UA PHYS515 電磁理論I 麥克斯韋方程組基礎5 電動力學的四類問題與對應的麥克斯韋方程

- Electrostatics
- Magnetostatics
- Electromagnetic wave
- 一般情況
- 數學框架

電動力學問題通常被分為四類：

Electrostatics（靜電學）

Magnetostatics（靜磁學）

Electromagnetic wave（電磁波）

General Case（一般情況）

之所以要進行這樣的分類是因為相同類別的問題需要的數學技巧是類似的，從第一類到第四類需要用到的Maxwell方程越來越多，并且形式越來越完整，因此我們會按照順序逐一介紹相應問題的建模與計算方法。

Electrostatics

如果 $B?=0,H?=0\vec{B}=0,\vec{H}=0$ 并且電場與電位移不隨時間變化，我們稱這樣的問題叫靜電學問題。回顧一下介質中的Maxwell方程：
$??D?=4πρ??B?=0?×E?=??B??t?×H???D??t=4πJ?\nabla \cdot \vec{D} = 4\pi \rho \\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{H}-\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} = 4\pi \vec{J}$

當 $B?=H?=0\vec{B}=\vec{H}=0$ ，則
$??D?=4πρ?×E?=0??D??t=4πJ?\nabla \cdot \vec{D} = 4\pi \rho \\ \nabla \times \vec{E}=0 \\ -\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} = 4\pi \vec{J}$

第二個方程說明此時的電場散度為0，即現在的電場是一個保守力場，因此存在電場的勢能 $Φ\Phi$ ，使得
$E?=??Φ\vec{E} = - \nabla \Phi$

各向同性介質
在各向同性介質中， $D?=?E?\vec{D}=\epsilon \vec{E}$ ，所以
$??D?=???E?+(??)?E?=???E?=4πρ\nabla \cdot \vec{D}=\epsilon \nabla \cdot \vec{E}+(\nabla \epsilon) \cdot \vec{E}=\epsilon \nabla \cdot \vec{E}=4\pi \rho$

代入勢能
$?2Φ=?4π?ρ\nabla^2 \Phi = -\frac{4\pi}{\epsilon} \rho$

這就是有名的Poisson方程；如果不存在自由電荷， $ρ=0\rho = 0$ ，則
$?2Φ=ΔΦ=0\nabla^2 \Phi = \Delta \Phi= 0$

這就是同樣很有名的Laplace方程。

Magnetostatics

假設電場與電位移為0， $B?\vec{B}$ 與 $H?\vec{H}$ 與時間無關， $B?\vec{B}$ 是magnetic induction， $H?\vec{H}$ 是magnetic field，在各向同性介質中
$H?=μ′B?,μ′=1μ\vec{H}=\mu'\vec{B},\mu' = \frac{1}{\mu}$

其中 $μ\mu$ 是磁導率，假設它是一個常數，我們只需要關注描述磁場的兩個方程，則根據Ampere定律
$?×H?=μ′?×B?=4πJ??×B?=4πμJ?\nabla \times \vec{H} =\mu' \nabla \times \vec{B}=4\pi \vec{J} \\ \nabla \times \vec{B}=4\pi \mu \vec{J}$

用磁感應的向量勢代替場，即 $?×A?=B?\nabla \times \vec{A}=\vec{B}$ ，于是
$?×(?×A?)=4πμJ?\nabla \times (\nabla \times \vec{A})=4\pi \mu \vec{J}$

根據場論恒等式
$?×(?×A?)=?(??A?)?ΔA?=4πμJ?\nabla \times (\nabla \times \vec{A})=\nabla (\nabla \cdot \vec{A})-\Delta \vec{A}=4\pi \mu \vec{J}$

關于potential有一些很重要的性質，比如標量勢加任一常數仍然是原來的標量勢，向量勢加任意函數的散度仍然是原來的向量勢
$??(Φ+C0)=??Φ?×(A?+?ψ)=?×A?-\nabla (\Phi+C_0)=-\nabla \Phi \\ \nabla \times (\vec{A}+\nabla \psi)=\nabla \times \vec{A}$

基于第二個方程，我們可以開發簡化上述方程的技術，這種技術被稱為Coulomb’s Gauge（僅適用于三維空間靜態問題，在四維時空中的擴展被稱為Lorenz‘s Gauge）：我們總是可以選擇一個gauge，使得
$??(A?+?ψ)=0=??A?+ΔψΔψ=???A?\nabla \cdot (\vec{A}+\nabla \psi)=0=\nabla \cdot \vec{A}+\Delta \psi \\ \Delta \psi=-\nabla \cdot \vec{A}$

這一個Poisson方程，在這個方程解出的gauge下，
$?(??(A?+?ψ))=0\nabla (\nabla \cdot (\vec{A}+\nabla \psi))=0$

因為向量勢關于不同gauge等價，所以記這時的向量勢也為 $A?\vec{A}$ ，則
$ΔA?=?4πμJ?\Delta \vec{A}=-4\pi \mu \vec{J}$

綜上，Magnetostatics問題需要的方程是勢能形式的Maxwell方程：
$ΔΦ=?4πρΔA?=?4πμJ?\Delta \Phi=-4\pi \rho \\ \Delta \vec{A}=-4\pi \mu \vec{J}$

Electromagnetic wave

電磁波關注的是電磁場形成后的傳播與演化，所以我們不需要charge，假設 $ρ=0,J?=0\rho = 0,\vec{J}=0$ ，所以
$??D?=0??B?=0?×E?=??B??t?×H???D??t=0\nabla \cdot \vec{D} = 0 \\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{H}-\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} = 0$

在各向同性介質中，
$D?=?E?B?=μH?\vec{D} = \epsilon \vec{E} \\ \vec{B} = \mu \vec{H}$

其中 $?,μ\epsilon,\mu$ 是常數，因此電磁波問題只需要下面兩個方程：
$(1):?×E?=??B??t(2):?×B?=μ??E??t(1):\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ (2): \nabla \times \vec{B}=\mu \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

與前兩類問題類似，更簡單的做法永遠是把帶旋度、散度的一階偏微分方程方程化歸為二階偏微分方程，考慮
$μ???t(1)+?×(2)??×(?×B?)+??t(μ??×E?)=μ??×??tE??μ??2B??t2ΔB??μ??2B??t2=0\mu \epsilon \frac{\partial }{\partial t}(1)+\nabla \times (2) \\ \Rightarrow \nabla \times (\nabla \times \vec{B})+ \frac{\partial }{\partial t} (\mu \epsilon \nabla \times \vec{E})=\mu \epsilon \nabla \times \frac{\partial }{\partial t} \vec{E}-\mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \\ \Delta \vec{B}-\mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}=0$

第二行到第三行同樣用了場論恒等式+Coulomb Gauge，最后可以得到磁感應的wave equation，不妨用復指數形式表達磁感應，磁感應的wave equation的解為
$B?=B0ei(k??r??wt)\vec{B} = B_0e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r}-wt)}$

并且常數滿足（dispersion equation）
$k?2?μ?w2=0\vec{k}^2-\mu \epsilon w^2=0$

基于這個結果可以說明光是一種電磁現象，我們在下一講討論這個問題。

一般情況

正如我們在Maxwell方程的勢能形式那一講所討論的一樣，Maxwell方程討論的是source ( $ρ,J?\rho,\vec{J}$ ) 及其產生的電磁現象 $(A?,Φ)(\vec{A},\Phi)$ 的演化過程：
$ΔΦ+??t(??A?)=?4πρ?(??A?)?ΔA?+?2A??2t+??t?Φ=4πJ?\Delta \Phi+ \frac{\partial}{\partial t}( \nabla \cdot \vec{A})=-4\pi \rho \\ \nabla(\nabla \cdot \vec{A})-\Delta \vec{A}+\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial ^2 t}+\frac{\partial }{\partial t} \nabla \Phi=4\pi \vec{J}$

這就是電磁學可以討論的一般情況。此外，有時我們還需要電荷在電磁場中的受力：
$F?=qE?+qv?×B?\vec{F}=q\vec{E}+q \vec{v} \times \vec{B}$

數學框架

最后，我們可以把以上方程做一個數學上的抽象，明確在電磁理論中我們需要的數學技術。電磁理論可以抽象成下面的方程：
$L u = f$

其中
$\sum_{ij}a_{ij} \frac{\partial ^2}{\partial x_i x_j}+\sum_k b_k \frac{\partial }{\partial x_k}+c_0$

$u$ 可以表示電場、電位移、磁感應、磁場或者電場標量勢、磁場向量勢等變量， $f$ 表示電磁場的source， $ρ\rho$ 與 $J?\vec{J}$ 。根據算子 $L$ 的形式，我們可以對電磁理論的方程進行分類：

Elliptic: $a_{ij}>0$ (比如Laplace方程，需要關于 $?Φ\nabla \Phi$ 或者 $Φ\Phi$ 的邊界條件)
Hyperbolic: some of $a_{ij}$ is positive but some negative (比如波動方程，需要 $u$ 與 $?u?t\frac{\partial u}{\partial t}$ 在 $t = 0$ 時的邊界條件)
Parabolic: some of $a_{ij}$ is zero but not all $b_k$ is zero (比如薛定諤方程、擴散方程，需要 $u$ 在 $t = 0$ 時的邊界條件與介質的性質，因為介質的性質會決定擴散的速率等常數)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础5 电动力学的四类问题与对应的麦克斯韦方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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