UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题4 用Green函数法求解Dirichlet问题
UA PHYS515 電磁理論II 靜電場問題4 用Green函數法求解Dirichlet問題
上一講我們討論過Dirichlet問題的積分解：
Φ(r?)=∫Vρ(r?′)G(r?,r?′)dx′dy′dz′?14π∮S(V)Φ(r?′)?G?ndS\Phi(\vec r) = \int_V \rho(\vec r')G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S(V)} \Phi(\vec r')\frac{\partial G}{\partial n}dSΦ(r)=∫V?ρ(r′)G(r,r′)dx′dy′dz′?4π1?∮S(V)?Φ(r′)?n?G?dS
其中source ρ(r?′)\rho(\vec r')ρ(r′)與邊界Φ(r?′),r?′∈S(V)\Phi(\vec r'),\vec r' \in S(V)Φ(r′),r′∈S(V)在Dirichlet問題中都是已知的，因此求解Dirichlet問題的關鍵在于構造Green函數。在Image charge method的輔助下，我們可以把Green函數寫成下面的形式：
G(r?,r?′)=1∣r??r?′∣+F(r?,r?′)G(\vec r,\vec r')=\frac{1}{|\vec r-\vec r'|}+F(\vec r, \vec r')G(r,r′)=∣r?r′∣1?+F(r,r′)
關于FFF的構造有下面兩個要點：
如果是Neumann問題，
Φ(r?)=∫Vρ(r?′)G(r?,r?′)dx′dy′dz′+14π∮S(V)Φ(r?′)?nG(r?,r?′)dS+?Φ?S\Phi(\vec r)= \int_V \rho(\vec r')G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz' \\ +\frac{1}{4\pi}\oint_{S(V)}\frac{\Phi(\vec r')}{\partial n}G(\vec r,\vec r')dS+\langle \Phi \rangle_S Φ(r)=∫V?ρ(r′)G(r,r′)dx′dy′dz′+4π1?∮S(V)??nΦ(r′)?G(r,r′)dS+?Φ?S?
最后一項表示Φ\PhiΦ在邊界S(V)S(V)S(V)上的平均值，這是在取
?G?n=?4π∣S∣\frac{\partial G}{\partial n} = -\frac{4\pi}{|S|}?n?G?=?∣S∣4π?
時才成立的，我們希望∣S∣|S|∣S∣是正無窮，這樣最后一項?Φ?S\langle \Phi \rangle_S?Φ?S?會趨近于0，否則在Neumann問題中我們無法直接計算這一項，這種情況下Green函數法就失效了。
例1
在三維直角坐標系中，某電場存在于V={(x,y,z):x≥0}V=\{(x,y,z):x \ge 0\}V={(x,y,z):x≥0}，它的source為(a,0,0)(a,0,0)(a,0,0)處電荷量為qqq的點電荷，Dirichlet條件為Φ(0,y,z)=Φ0,?y,z\Phi(0,y,z)=\Phi_0,\forall y, zΦ(0,y,z)=Φ0?,?y,z。
解
電荷密度為
ρ(r?′)=qδ3(r?′?r?0),r?0=(a,0,0)\rho(\vec r')=q\delta^3(\vec r'-\vec r_0),\vec r_0=(a,0,0)ρ(r′)=qδ3(r′?r0?),r0?=(a,0,0)
先寫出Green函數
G(r?,r?′)=1∣r??r?′∣+F(r?,r?′)G(\vec r,\vec r')=\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}+F(\vec r,\vec r')G(r,r′)=∣r?r′∣1?+F(r,r′)
其中FFF滿足下面兩個條件：
?2F(r?,r?′)=0G(r?,r?′)∣r?′∈S=0=F(r?,r?′)∣S=?1∣r??r?′∣∣S\nabla^2 F(\vec r,\vec r')=0 \\ G(\vec r,\vec r')|_{\vec r '\in S}=0=F(\vec r,\vec r')|_S = -\frac{1}{|\vec r-\vec r'|}|_S?2F(r,r′)=0G(r,r′)∣r′∈S?=0=F(r,r′)∣S?=?∣r?r′∣1?∣S?
其中S={(x,y,z):x=0}S=\{(x,y,z):x=0\}S={(x,y,z):x=0}表示邊界，于是
F∣S=?1x2+(y?y′)2+(z?z′)2F|_S = -\frac{1}{\sqrt{x^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}F∣S?=?x2+(y?y′)2+(z?z′)2?1?
根據Image charge method的思路，在討論r?′\vec r'r′處的電荷密度幾何效應時，我們總是可以在它關于y?zy-zy?z平面對稱的位置放上一個image charge抵消掉它的作用，于是
F(r?,r?′)=?1(x+x′)2+(y?y′)2+(z?z′)2F(\vec r,\vec r')=-\frac{1}{\sqrt{(x+x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}F(r,r′)=?(x+x′)2+(y?y′)2+(z?z′)2?1?
可以驗證它滿足上面提到的兩個條件。于是Green函數為
G(r?,r?′)=1(x?x′)2+(y?y′)2+(z?z′)2?1(x+x′)2+(y?y′)2+(z?z′)2G(\vec r,\vec r') = \frac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} \\ - \frac{1}{\sqrt{(x+x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}G(r,r′)=(x?x′)2+(y?y′)2+(z?z′)2?1??(x+x′)2+(y?y′)2+(z?z′)2?1?
因此我們可以寫出電勢能的積分解：
Φ(r?)=∫Vρ(r?′)G(r?,r?′)dx′dy′dz′?14π∮SΦ0?G(r?,r?′)?n′dS′\Phi(\vec r) =\int_V \rho(\vec r')G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz'-\frac{1}{4\pi}\oint_S \Phi_0 \frac{\partial G(\vec r,\vec r')}{\partial n'}dS'Φ(r)=∫V?ρ(r′)G(r,r′)dx′dy′dz′?4π1?∮S?Φ0??n′?G(r,r′)?dS′
這個東西看上去很難計算，但實際上還算是有規律的，第一個積分中電荷密度與dirac函數成正比，積分計算可以實用dirac函數的性質：
∫Vρ(r?′)G(r?,r?′)dx′dy′dz′=∫Vqδ3(r?′?ρ0)G(r?,r?′)dx′dy′dz′=qG(r?,r?0)=q(x?a)2+y2+z2?q(x+a)2+y2+z2\int_V \rho(\vec r')G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz' = \int_V q \delta^3(\vec r'-\rho_0)G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz' \\ = qG(\vec r,\vec r_0)=\frac{q}{\sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}} - \frac{q}{\sqrt{(x+a)^2+y^2+z^2}}∫V?ρ(r′)G(r,r′)dx′dy′dz′=∫V?qδ3(r′?ρ0?)G(r,r′)dx′dy′dz′=qG(r,r0?)=(x?a)2+y2+z2?q??(x+a)2+y2+z2?q?
第二個積分中，需要注意的是nnn是邊界SSS的外法線方向，也就是指向VCV^CVC的方向，因此n^′=?x^′\hat n' = -\hat x'n^′=?x^′，即xxx軸的負向，另外’表示這是電荷密度的坐標，不帶‘的表示測試電荷的坐標。先計算方向導數
?G(r?,r?′)?n=??G(r?,r?′)?x′∣r?′∈S=?2x(x2+(y?y′)2+(z?z′)2)3/2\frac{\partial G(\vec r,\vec r')}{\partial n}=-\frac{\partial G(\vec r,\vec r')}{\partial x'}|_{\vec r' \in S} = -\frac{2x}{(x^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^{3/2}}?n?G(r,r′)?=??x′?G(r,r′)?∣r′∈S?=?(x2+(y?y′)2+(z?z′)2)3/22x?
再計算曲面積分
∮SΦ0?G(r?,r?′)?ndS=??2xΦ0(x2+(y?y′)2+(z?z′)2)3/2dy′dz′\oint_S \Phi_0\frac{\partial G(\vec r,\vec r')}{\partial n}dS=\iint \frac{-2x \Phi_0}{(x^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^{3/2}}dy'dz'∮S?Φ0??n?G(r,r′)?dS=?(x2+(y?y′)2+(z?z′)2)3/2?2xΦ0??dy′dz′
所以最終答案為（這個積分就懶得算了，就是在y-z平面積分）
Φ(r?)=q(x?a)2+y2+z2?q(x+a)2+y2+z2+xΦ02π?1(x2+(y?y′)2+(z?z′)2)3/2dy′dz′\Phi(\vec r)=\frac{q}{\sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}} - \frac{q}{\sqrt{(x+a)^2+y^2+z^2}} \\ + \frac{x\Phi_0}{2\pi} \iint \frac{1}{(x^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^{3/2}}dy'dz'Φ(r)=(x?a)2+y2+z2?q??(x+a)2+y2+z2?q?+2πxΦ0???(x2+(y?y′)2+(z?z′)2)3/21?dy′dz′
由此可以計算電場
E?=??Φ\vec E = -\nabla \PhiE=??Φ
以及y-z平面上的導出電荷密度σ\sigmaσ:
?Φ?n=?4πσ\frac{\partial \Phi}{\partial n}=-4\pi \sigma?n?Φ?=?4πσ
總結
以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题4 用Green函数法求解Dirichlet问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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