UA PHYS515 電磁理論II 靜電場問題6 正交函數(shù)系簡介

• • 完備標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系
  • 常用的正交系
  • • 正交系與Laplace方程

完備標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系

Poisson方程的解可以用正交函數(shù)系表示，在不同的坐標(biāo)系下需要不同的正交函數(shù)系表示，這一講我們介紹一些常用的正交函數(shù)系，下一講開始會(huì)介紹一些用正交函數(shù)系求解靜電學(xué)問題的例子。

對(duì)于函數(shù)系$\{U_n{\}}_{n\ge 0}$，如果
$${\int }_a^b{U}_n^{?}(\xi )U_m(\xi )d\xi ={\delta }_{nm}$$

就稱這個(gè)函數(shù)系Orthonomal，這里的${\delta }_{nm}$是Kronecker符號(hào)。如果對(duì)于$[a,b]$上的任意函數(shù)$f(\xi )$，
$$f(\xi )=\sum a_n{U}_n(\xi )$$

使得$??>0$, $?N$，$$|f(\xi )?\sum _{n=1}^N{a}_n{U}_n(\xi )|<?$$

就稱$\{U_n{\}}_{n\ge 0}$是完備的。我們需要的是完備的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系。

常用的正交系

坐標(biāo)系正交系

直角坐標(biāo)系$(x,y,z)$	Fourier: $e^{ik?r}$或$e^{?ik?r}$
球坐標(biāo)系$(r,\theta ,?)$	球諧函數(shù)：$\mathcal{Y}(\theta ,?)$
柱坐標(biāo)系$(\eta ,?,z)$	Bessel函數(shù)：$J_{\nu }$

當(dāng)球坐標(biāo)系下的解與經(jīng)角$?$無關(guān)時(shí)，球諧函數(shù)（spherical harmonics）退化為Legendre多項(xiàng)式。

正交系與Laplace方程

考慮無source時(shí)電勢滿足的Laplace方程：
$${?}^2\Phi =0$$

直角坐標(biāo)系
在直角坐標(biāo)系中，如果可分離變量，則
$$\Phi (x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$$

于是
$$\begin{gathered} {?}^2\Phi =\frac{{?}^{2}XYZ}{?x^2}+\frac{{?}^{2}XYZ}{?y^2}+\frac{{?}^{2}XYZ}{?z^2} \\ =\frac{{?}^{2}X}{?x^2}YZ+\frac{{?}^{2}Y}{?y^2}XZ+\frac{{?}^{2}Z}{?z^2}XY=0 \\ ?\frac{X^{\prime \prime }}{X}+\frac{Y^{\prime \prime }}{Y}+\frac{Z^{\prime \prime }}{Z}=0 \end{gathered}$$

不妨引入比例常數(shù)$\alpha$，使得
$$?\frac{X^{\prime \prime }}{X}=\frac{Y^{\prime \prime }}{Y}+\frac{Z^{\prime \prime }}{Z}=\alpha$$

從而$X^{\prime \prime }+{\alpha }^{2}X=0$，它的解系為$\{e^{i\alpha x},e^{?i\alpha x}\}$；然后我們再引入一個(gè)比例常數(shù)$\beta$，使得
$$?\frac{Y^{\prime \prime }}{Y}+{\alpha }^2=\frac{Z^{\prime \prime }}{Z}={\alpha }^2+{\beta }^2$$

可以被拆分為
$$\begin{gathered} Y^{\prime \prime }+{\beta }^{2}Y=0 \\ {Z}^{\prime \prime }?({\alpha }^2+{\beta }^2)Z=0 \end{gathered}$$

所以$Y$的解系為$\{e^{\pm i\beta y}\}$，$Z$的解系為$\{e^{\pm \sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}z}\}$，三個(gè)解系的積就是Laplace方程的解，虛數(shù)部分表示正弦波動(dòng)，實(shí)數(shù)部分表示電勢隨距離的衰減。綜上，Laplace方程的通解可以寫成
$$\Phi (x,y,z)=\sum _{m,n}{a}_{nm}{e}^{\pm i{\alpha }_{n}x}{e}^{\pm i{\beta }_{m}y}{e}^{\pm \sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}z}$$

需要注意的是正交函數(shù)系方法具有一般性，不管實(shí)驗(yàn)設(shè)定如何復(fù)雜都可以用，但要得到精確的結(jié)果就必須要計(jì)算更多系數(shù)，用更多項(xiàng)來近似，所以需要在精度與計(jì)算量之間做權(quán)衡；對(duì)于對(duì)稱性比較高的問題，這里面系數(shù)不為0的項(xiàng)一般只有幾個(gè)，這種時(shí)候用其他方法其實(shí)是更簡便的。

總結(jié)

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