UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题6 正交函数系简介
UA PHYS515 電磁理論II 靜電場問題6 正交函數系簡介
- 完備標準正交函數系
- 常用的正交系
- 正交系與Laplace方程
完備標準正交函數系
Poisson方程的解可以用正交函數系表示，在不同的坐標系下需要不同的正交函數系表示，這一講我們介紹一些常用的正交函數系，下一講開始會介紹一些用正交函數系求解靜電學問題的例子。
對于函數系{Un}n≥0\{U_n\}_{n \ge 0}{Un?}n≥0?，如果
∫abUn?(ξ)Um(ξ)dξ=δnm\int_a^b U_n^*(\xi)U_m(\xi)d\xi = \delta_{nm}∫ab?Un??(ξ)Um?(ξ)dξ=δnm?
就稱這個函數系Orthonomal，這里的δnm\delta_{nm}δnm?是Kronecker符號。如果對于[a,b][a,b][a,b]上的任意函數f(ξ)f(\xi)f(ξ)，
f(ξ)=∑anUn(ξ)f(\xi) = \sum a_n U_n(\xi)f(ξ)=∑an?Un?(ξ)
使得??>0\forall \epsilon>0??>0, ?N\exists N?N，∣f(ξ)?∑n=1NanUn(ξ)∣<?|f(\xi)-\sum_{n=1}^N a_nU_n(\xi)| < \epsilon∣f(ξ)?n=1∑N?an?Un?(ξ)∣<?
就稱{Un}n≥0\{U_n\}_{n \ge 0}{Un?}n≥0?是完備的。我們需要的是完備的標準正交函數系。
常用的正交系
| 直角坐標系(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) | Fourier: eik??r?e^{i\vec k \cdot \vec r}eik?r或e?ik??r?e^{-i\vec k \cdot \vec r}e?ik?r |
| 球坐標系(r,θ,?)(r,\theta,\phi)(r,θ,?) | 球諧函數：Y(θ,?)\mathcal{Y}(\theta,\phi)Y(θ,?) |
| 柱坐標系(η,?,z)(\eta,\phi,z)(η,?,z) | Bessel函數：JνJ_{\nu}Jν? |
當球坐標系下的解與經角?\phi?無關時，球諧函數（spherical harmonics）退化為Legendre多項式。
正交系與Laplace方程
考慮無source時電勢滿足的Laplace方程：
?2Φ=0\nabla^2 \Phi = 0?2Φ=0
直角坐標系
在直角坐標系中，如果可分離變量，則
Φ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)\Phi(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)Φ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)
于是
?2Φ=?2XYZ?x2+?2XYZ?y2+?2XYZ?z2=?2X?x2YZ+?2Y?y2XZ+?2Z?z2XY=0?X′′X+Y′′Y+Z′′Z=0\nabla^2 \Phi = \frac{\partial^2 XYZ}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 XYZ}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 XYZ}{\partial z^2} \\ = \frac{\partial^2 X}{\partial x^2}YZ+\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2}XZ+\frac{\partial^2 Z}{\partial z^2}XY = 0 \\ \Rightarrow \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z}=0?2Φ=?x2?2XYZ?+?y2?2XYZ?+?z2?2XYZ?=?x2?2X?YZ+?y2?2Y?XZ+?z2?2Z?XY=0?XX′′?+YY′′?+ZZ′′?=0
不妨引入比例常數α\alphaα，使得
?X′′X=Y′′Y+Z′′Z=α-\frac{X''}{X}=\frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z}=\alpha?XX′′?=YY′′?+ZZ′′?=α
從而X′′+α2X=0X''+\alpha^2X=0X′′+α2X=0，它的解系為{eiαx,e?iαx}\{e^{i\alpha x},e^{-i\alpha x}\}{eiαx,e?iαx}；然后我們再引入一個比例常數β\betaβ，使得
?Y′′Y+α2=Z′′Z=α2+β2-\frac{Y''}{Y}+\alpha^2=\frac{Z''}{Z}=\alpha^2+\beta^2?YY′′?+α2=ZZ′′?=α2+β2
可以被拆分為
Y′′+β2Y=0Z′′?(α2+β2)Z=0Y''+\beta^2 Y = 0 \\ Z'' - (\alpha^2+\beta^2)Z=0Y′′+β2Y=0Z′′?(α2+β2)Z=0
所以YYY的解系為{e±iβy}\{e^{\pm i\beta y}\}{e±iβy}，ZZZ的解系為{e±α2+β2z}\{e^{\pm \sqrt{\alpha^2+\beta^2}z}\}{e±α2+β2?z}，三個解系的積就是Laplace方程的解，虛數部分表示正弦波動，實數部分表示電勢隨距離的衰減。綜上，Laplace方程的通解可以寫成
Φ(x,y,z)=∑m,nanme±iαnxe±iβmye±α2+β2z\Phi(x,y,z)=\sum_{m,n}a_{nm}e^{\pm i \alpha_n x}e^{\pm i \beta_m y}e^{\pm \sqrt{\alpha^2+\beta^2}z}Φ(x,y,z)=m,n∑?anm?e±iαn?xe±iβm?ye±α2+β2?z
需要注意的是正交函數系方法具有一般性，不管實驗設定如何復雜都可以用，但要得到精確的結果就必須要計算更多系數，用更多項來近似，所以需要在精度與計算量之間做權衡；對于對稱性比較高的問題，這里面系數不為0的項一般只有幾個，這種時候用其他方法其實是更簡便的。
總結
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