UA SIE545 優化理論基礎1 例題1 常見的凸集

• • 一些例題

在優化理論中，我們主要討論下面幾種凸集：

超平面：$\{x:p^{T}x=\beta \}$

半空間：$\{x:p^{T}x\le \beta \}$

范數錐：$\{(x,t):\Vert x\Vert \le t\}$

多面體：$\{x:Ax\le b\}$

與超平面和半空間相關的結論是分離定理，主要討論點與凸集、凸集與凸集的分離；與多面體相關的結論是多面體的表示定理以及由此導出的線性規劃的單純形法。這兩類結論我們在例題2和例題3中討論，這次例題我們討論一般性的凸集的判定與性質。

一些例題

例1 $S_1=\{x:A_{1}x\le b_1\},S_2=\{x:A_{2}x\le b_2\}$是兩個非空集合，記$S=S_1\cup S_2$, $\hat{S}=\{y+z:A_{1}y\le b_1{\lambda }_1,A_{2}z\le b_2{\lambda }_2,{\lambda }_1+{\lambda }_2=1,{\lambda }_1,{\lambda }_2\ge 0\}$。假設$S_1,S_2$有界，證明$conv(S)=\hat{S}$

證明
1）$conv(S)?\hat{S}$:
$?x\in conv(S)$, $?x_1,?,x_m\in S$, $?{\lambda }_1,{\lambda }_m\ge 0,{\lambda }_1+?+{\lambda }_m=1$,
$$x=\sum _{i=1}^m{\lambda }_i{x}_i$$

不失一般性，我們假設$x_1,?,x_k\in S_1,x_{k+1},?,x_m\in S_2,k\in \{0,?,m\}$，
$$\begin{gathered} x=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{x}_i+\sum _{i=k+1}^m{\lambda }_i{x}_i \\ =\left(\sum _{i=1}^k{\lambda }_i\right)\sum _{i=1}^k\frac{{\lambda }_i{x}_i}{\left({\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i\right)}+\left(\sum _{i=k+1}^m{\lambda }_i\right)\sum _{i=k+1}^m\frac{{\lambda }_i{x}_i}{\left({\sum }_{i=k+1}^m{\lambda }_i\right)}\in \hat{S} \end{gathered}$$
2）$conv(S)?\hat{S}$:
$?x\in \hat{S}$, $?y\in S_1,z\in S_2$, $x={\lambda }_{1}y+{\lambda }_{2}z,{\lambda }_1+{\lambda }_2=1,{\lambda }_1,{\lambda }_2\ge 0$，根據下面例9的結論，命題得證。

例2 $S$是歐式空間的非空子集，$\bar{x}\in S$, $C=\{y:y=\lambda (x?\bar{x}),\lambda \ge 0,x\in S\}$

證明$C$是凸錐

如果$S$是凸集，則$C$是凸集

證明
1）$?\mu \ge 0,?y\in C?\{0\}$, $?x\in S?\{\bar{x}\},\lambda >0$, $y=\lambda (x?\bar{x})$，$\mu y=(\mu \lambda )(x?\bar{x})\in C$
2）$?y_1,y_2\in C$, $?x_1,x_2\in S,{\lambda }_1,{\lambda }_2\ge 0$, $y_1={\lambda }_1(x_1?\bar{x}),y_2={\lambda }_2(x_2?\bar{x})$. $?\mu \in [0,1]$,
$$\begin{gathered} \mu y_1+(1?\mu )y_2=\mu {\lambda }_1(x_1?\bar{x})+(1?\mu ){\lambda }_2(x_2?\bar{x}) \\ =\mu {\lambda }_1{x}_1+(1?\mu ){\lambda }_2{x}_2?[\mu {\lambda }_1+(1?\mu ){\lambda }_2]\bar{x} \\ =\left[\frac{\mu {\lambda }_1}{\mu {\lambda }_1+(1?\mu ){\lambda }_2}{x}_1+\frac{(1?\mu ){\lambda }_2}{\mu {\lambda }_1+(1?\mu ){\lambda }_2}{x}_2?\bar{x}\right][\mu {\lambda }_1+(1?\mu ){\lambda }_2]\in C \end{gathered}$$

例3 $C_1,C_2$是歐式空間中的凸錐，證明$C_1\oplus C_2$也是凸錐，并且$C_1\oplus C_2=conv(C_1\cup C_2)$
證明
1）$?y+z\in C_1\oplus C_2$, $y\in C_1,z\in C_2$, $?\lambda \ge 0$,
$$\lambda (y+z)=\lambda y+\lambda z\in C_1\oplus C_2$$

2）Check $C_1\oplus C_2=conv(C_1\cup C_2)$
i) $C_1\oplus C_2?conv(C_1\cup C_2)$: $?x\in C_1\oplus C_2,?y\in C_1,z\in C_2,\lambda \ge 0$, $x=\lambda y+\lambda z=\frac{1}{2}2\lambda y+\frac{1}{2}2\lambda z\in conv(C_1\cup C_2)$
ii) $C_1\oplus C_2?conv(C_1\cup C_2)$: $?x\in conv(C_1\cup C_2)$, $?y\in C_1,z\in C_2,\lambda \in [0,1]$, $x=\lambda y+(1?\lambda )z\in C_1\oplus C_2$

例4 假設$A,B$是兩個凸集，證明$conv(A\cup B)=\{\lambda A+(1?\lambda )B:\lambda \in [0,1]\}$

證明
1）$conv(A\cup B)?\{\lambda A+(1?\lambda )B:\lambda \in [0,1]\}?S$:
$?x\in conv(A\cup B)$, $?x_1,?,x_k\in A,x_{k+1},?,x_m\in B,k\in \{0,?,m\}$, $?{\lambda }_1,{\lambda }_m\ge 0,{\lambda }_1+?+{\lambda }_m=1$,
$$\begin{gathered} x=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{x}_i+\sum _{i=k+1}^m{\lambda }_i{x}_i \\ =\left(\sum _{i=1}^k{\lambda }_i\right)\sum _{i=1}^k\frac{{\lambda }_i{x}_i}{\left({\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i\right)}+\left(\sum _{i=k+1}^m{\lambda }_i\right)\sum _{i=k+1}^m\frac{{\lambda }_i{x}_i}{\left({\sum }_{i=k+1}^m{\lambda }_i\right)}\in S \end{gathered}$$

2）$conv(A\cup B)?\{\lambda A+(1?\lambda )B:\lambda \in [0,1]\}?S$:
$?x\in S$, $?y\in A,z\in B,\lambda \in [0,1]$, $x=\lambda y+(1?\lambda )z\in conv(A\cup B)$ ($y,z\in A\cup B$)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA SIE545 优化理论基础1 例题1 常见的凸集的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。