UA PHYS515A 電磁理論IV 時變電磁場理論2 Helmholtz方程與含時的Green函數

上一講的末尾我們介紹了Lorentz Gauge下的含時麥克斯韋方程：
$$\begin{gathered} \left({?}^2?\frac{1}{c^2}\frac{{?}^2}{?t^2}\right)\Phi =?4\pi \rho \\ \left({?}^2?\frac{1}{c^2}\frac{{?}^2}{?t^2}\right)A=?\frac{4\pi }{c}J \end{gathered}$$

與靜電學與靜磁學問題相比，含時的電磁場問題僅僅多了potential關于時間的二階導項，因此類似的方法比如正交函數法、Green函數法在含時問題中依然適用。下面討論

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第一種常用的工具是Fourier變換：
$$\Phi (r,t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\infty }^{+\infty }\Phi (r,w)e^{?iwt}dw$$

這樣做的好處是把時間與空間分離了成了兩個互不干擾的因式，對所有物理量都可以做Fourier變換，這樣關于$\Phi$的方程就變成了
$$\left({?}^2+\frac{w^2}{c^2}\right)\Phi (r,w)=?4\pi \rho (r,w)$$

其中$w$的物理意義是頻率。對$A$的所有分量我們也可以做類似的變化，并最終得到
$$\left({?}^2+\frac{w^2}{c^2}\right)A(r,w)=?\frac{4\pi }{c}J(r,w)$$

我們稱這種形式的方程為Helmo(UA PHYS515A 電磁理論IV 時變電磁場理論2 Fourier變換與含時的Green函數)
上一講的末尾我們介紹了Lorentz Gauge下的含時麥克斯韋方程：$$\begin{gathered} \left({?}^2?\frac{1}{c^2}\frac{{?}^2}{?t^2}\right)\Phi =?4\pi \rho \\ \left({?}^2?\frac{1}{c^2}\frac{{?}^2}{?t^2}\right)A=?\frac{4\pi }{c}J \end{gathered}$$與靜電學與靜磁學問題相比，含時的電磁場問題僅僅多了potential關于時間的二階導項，因此類似的方法比如正交函數法、Green函數法在含時問題中依然適用。

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第一種常用的工具是Fourier變換：$$\Phi (r,t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\infty }^{+\infty }\Phi (r,w)e^{?iwt}dw$$這樣做的好處是把時間與空間分離了成了兩個互不干擾的因式，對所有物理量都可以做Fourier變換，這樣關于$\Phi$的方程就變成了$$\left({?}^2+\frac{w^2}{c^2}\right)\Phi (r,w)=?4\pi \rho (r,w)$$其中$w$的物理意義是頻率。對$A$的所有分量我們也可以做類似的變化，并最終得到$$\left({?}^2+\frac{w^2}{c^2}\right)A(r,w)=?\frac{4\pi }{c}J(r,w)$$我們稱這種形式的方程為Helmholtz方程。Helmholtz方程的求解方法可以完全照搬Poisson方程的求解。

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第二種常用工具是含時的Green函數(time-dependent Green’s function)。用$G_w$表示Green函數（關于頻率的與位置的），我們希望它滿足Helmholtz方程：
$$\left({?}^2+\frac{w^2}{c^2}\right)G_w(r,r^{\prime })=?4\pi {\delta }^{(3)}(r?r^{\prime })$$

定義$r=|r?r^{\prime }|$，則
$$\frac{1}{r}\frac{d^2}{d{r}^2}r{G}_w+\frac{w^2}{c^2}{G}_w=?4\pi \delta (r)$$

之所以做這個替換是因為在靜電學問題中，我們已經知道Green函數雖然對電磁場的幾何的描述，但方向的作用并不大，真正影響強度的是與source的距離。這個方程的解是
$$G_w=\frac{e^{\pm ikr}}{r},k=\frac{w}{c}$$

分母與靜電學問題中的Green函數一樣，它表示庫侖potential，也就是potential與距離成反比；在靜電學問題中，分子為1，因為靜態問題意味著空間中各處都遵循庫侖potential的規則，但在電磁學問題中，分子為$e^{\pm ikr}$，它表示的是在空間中電磁場以波的形式進行傳播的特征。

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現在我們從Fourier形式的Green函數推導含時的Green函數，
$$\begin{gathered} G(r,t,r^{\prime },t^{\prime })=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\infty }^{+\infty }\frac{e^{\pm ikr}}{r}{e}^{?iwt}dw \\ =\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\infty }^{+\infty }\frac{e^{\pm ik|r?r^{\prime }|}}{|r?r^{\prime }|}{e}^{?iw(t?t^{\prime })}dw \\ =\frac{1}{2\pi |r?r^{\prime }|}{\int }_{?\infty }^{+\infty }{e}^{?iw(t?t^{\prime })}{e}^{\pm i\frac{w}{c}|r?r^{\prime }|}dw \\ =\frac{1}{2\pi |r?r^{\prime }|}{\int }_{?\infty }^{+\infty }{e}^{?iw[(t?t^{\prime })?\frac{|r?r^{\prime }|}{c}]}dw \\ ?G^{\pm }(r,t?t^{\prime })=\frac{\delta (t?t^{\prime }?\frac{r}{c})}{r} \end{gathered}$$

這個表達式說明兩點：

時變電磁場中，庫侖potential的規則依然成立；

當且僅當$t?t^{\prime }?\frac{r}{c}=0$時，Dirac函數非0，也就是當source產生的電磁場以光速傳播到觀察者的位置所需要的時間$r/c$加上source激發出電磁場的時刻$t^{\prime }$恰好等于觀察者觀測的時刻$t$時，觀察者可以觀測到這個電磁場；如果這兩個時刻不匹配，那么觀察者無法觀測到這個電磁場。

另外需要說明的是時變Green函數中的$?$，如果是$?$，那么Green函數中的Dirac函數項為$\delta (t?t^{\prime }?\frac{r}{c})$，這表示的是在觀察者觀測的時刻$t$之前的某個時刻$t^{\prime }$電磁場開始傳播，傳播到觀察者的位置需要的時間為$r/c$，這個解被稱為retarded solution；如果是$+$，那么Dirac函數為$\delta (t?t^{\prime }+\frac{r}{c})$，它可以理解為在觀察者觀測時刻$t$之后的某個時刻$t^{\prime }$開始傳播的電磁場回溯到觀察者的位置時間為$r/c$，也可以理解為觀察者從$t$時刻開始光速運動$r/c$時間后正好可以觀測到$t^{\prime }$時傳播到$r^{\prime }$的電磁場，這個解叫advanced solution。雖然advanced solution的兩種解釋看上去都很奇怪，但它并沒有違背因果律，后續討論邊界條件的時候我們會討論advanced solution的物理含義。

對于retarded solution，根據Green函數的作用，無邊界條件時，電磁場的potential可以表示為
$$\begin{gathered} {\Phi }^{(?)}(r,t)=?G^{?}(r,t,r^{\prime },t^{\prime })\rho (r^{\prime },t^{\prime })d^3{r}^{\prime }d{t}^{\prime } \\ {A}^{(?)}(r,t)=\frac{1}{c}?G^{?}(r,t,r^{\prime },t^{\prime })J(r^{\prime },t^{\prime })d^3{r}^{\prime }d{t}^{\prime } \end{gathered}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515A 电磁理论IV 时变电磁场理论2 Helmholtz方程与含时的Green函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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