UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射9 簡單輻射系統

前文討論了單個直線運動的帶電粒子的輻射，但在實踐中只有在實驗室才能觀察到這種現象，應用中遇到的情況會更加復雜，比如多個粒子做直線運動，多個粒子做圓周運動，多個粒子做運動的輻射傳播路徑上還有其他帶電粒子影響輻射場等。這一講我們就來討論一下怎么處理這些更具有一般性的問題。

回顧一下在時變電磁場中討論過的：在Lorentz gauge下
$$??\text{A}+\frac{1}{c}\frac{?\Phi }{?t}=0$$

potential的通解為
$$\begin{gathered} \text{A}=\frac{1}{c}\int \frac{\text{J}({\text{x}}^{\prime },t?\frac{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}{c})d^3{\text{x}}^{\prime }}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|} \\ \text{E}=\int \frac{\rho ({\text{x}}^{\prime },t?\frac{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}{c})d^3{\text{x}}^{\prime }}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|} \end{gathered}$$

通過potential可以得到電磁場
$$\begin{gathered} \text{E}=?\frac{1}{c}\frac{?}{?\text{A}}??\Phi \\ \text{B}=?\times \text{A}=\hat{n}\times \text{E}{|}_{\tilde{t}} \end{gathered}$$

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為簡化問題，我們假設所有的變量都是time harmonic，用$\Gamma$表示一個物理量，即
$$\Gamma (\text{x},t)={\Gamma }_w(\text{x})e^{?iwt}$$

$w$對所有涉及到的物理量都是相同的，因此所有物理量的fourier term $e^{?iwt}$相同，我們可以用spatial term列方程。這樣我們只需要記住四個處理簡單輻射問題的最基本的方式就可以解決大部分作業題了：
$$??{\text{A}}_w?ik{\Phi }_w=0,k=w/c$$

在time harmonic時，
$$\begin{gathered} \text{A}={\text{A}}_w(\text{x})e^{?iwt} \\ \Phi ={\Phi }_w(\text{x})e^{?iwt} \end{gathered}$$

代入$$??\text{A}+\frac{1}{c}\frac{?\Phi }{?t}=0$$中即可得到這個方程。

類似的，我們可以用time harmonic替換上文提到的其他幾個式子：
$$\begin{gathered} {\text{A}}_w=\frac{1}{c}\int {\text{J}}_w({\text{x}}^{\prime })\frac{e^{ik|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}{d}^3{\text{x}}^{\prime } \\ {\text{E}}_w=\frac{i}{k}?(??{\text{A}}_w)+ik{\text{A}}_w \\ {\text{B}}_w=?\times {\text{A}}_w=\hat{n}\times \text{E} \end{gathered}$$

在用以上幾個式子解決實際問題時，我們需要根據具體情景寫出對應的${\text{J}}_w$，另外需要專門處理一下的是$\frac{e^{ik|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}$這一項。假設觀察者的位置在source以外，也就是假設$|\text{x}|>|{\text{x}}^{\prime }|$，記$\gamma$為$\text{x}$與${\text{x}}^{\prime }$的夾角，則
$$k|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|=k|\text{x}|\sqrt{1+\frac{|{\text{x}}^{\prime }{|}^2}{|\text{x}{|}^2}?2\frac{|{\text{x}}^{\prime }|}{|\text{x}|}\cos \gamma }$$

用二項式定理展開且只保留前三項：
$$k|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|\approx k|\text{x}|\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{|{\text{x}}^{\prime }{|}^2}{|\text{x}{|}^2}?\frac{|{\text{x}}^{\prime }|}{|\text{x}|}\cos \gamma \right)?\frac{1}{8}{\left(\frac{|{\text{x}}^{\prime }{|}^2}{|\text{x}{|}^2}?\frac{|{\text{x}}^{\prime }|}{|\text{x}|}\cos \gamma \right)}^2\right]$$

所以
$$e^{ik|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}\approx e^{ik|\text{x}|}{e}^{ik\frac{|{\text{x}}^{\prime }{|}^2}{2|\text{x}|}?ik|{\text{x}}^{\prime }|\cos \gamma }$$

我們考慮一種特殊情況，$|\text{x}|>>|{\text{x}}^{\prime }|$ (in the radiation zone)，此時
$$\frac{e^{ik|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}\approx \frac{e^{ik|\text{x}|}}{|\text{x}|}{e}^{?ik|{\text{x}}^{\prime }|\cos \gamma }$$

代入到向量勢的表達式中
$$\begin{gathered} {\text{A}}_w=\frac{e^{ik|\text{x}|}}{|\text{x}|}\int {\text{J}}_w{e}^{?ik|{\text{x}}^{\prime }|\cos \gamma }{d}^3{\text{x}}^{\prime } \\ ??{\text{A}}_w=\left(?\frac{\text{x}}{|\text{x}|}\frac{e^{ik|\text{x}|}}{|\text{x}{|}^2}+\frac{ik{e}^{ik|\text{x}|}}{|\text{x}|}\frac{\text{x}}{|\text{x}|}\right)\frac{1}{c}\int {\text{J}}_w{e}^{?ik|{\text{x}}^{\prime }|\cos \gamma }{d}^3{\text{x}}^{\prime } \end{gathered}$$

按理說這里也需要對$\cos \gamma$求導，但因為$|\text{x}|>>|{\text{x}}^{\prime }|$，所以$\cos \gamma$的變化可以忽略不計。另外，我們把$1/|\text{x}{|}^2$項也忽略，則
$$??{\text{A}}_w\approx \frac{ik\text{x}}{|\text{x}|}?{\text{A}}_w$$

基于這個近似：
$$?(??{\text{A}}_w)\approx \frac{ik\text{x}}{|\text{x}|}(??{\text{A}}_w)=(ik{)}^2\frac{\text{x}}{|\text{x}|}\left(\frac{\text{x}}{|\text{x}|}?{\text{A}}_w\right)$$

記$\hat{r}=\text{x}/|\text{x}|,r=|\text{x}|$，則
$${\text{E}}_w=?ik[\hat{r}(\hat{r}?{\text{A}}_w)?{\text{A}}_w]=ik{\text{A}}_w^{\perp }$$

把${\text{A}}_w$按矢量的平行四邊形法則分解，$?[\hat{r}(\hat{r}?{\text{A}}_w)?{\text{A}}_w]$是他在垂直于$\hat{r}$方向的分量。

另外Poynting矢量可以表示為
$$\text{S}=\frac{c}{8\pi }Re({\text{E}}_w\times {\text{B}}_w^{?})=\frac{k^2}{8\pi c{r}^2}{\left[\int {\text{J}}_w^{\perp }({\text{x}}^{\prime })e^{?ik|{\text{x}}^{\prime }|\cos \gamma }{d}^3{\text{x}}^{\prime }\right]}^2\hat{r}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射9 简单辐射系统的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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