量子力學 一 基礎2 作用量、普朗克常量與物質波

• • Planck常數
  • 物質波

Planck常數

1900年，Planck發現了Planck常量$h=6.6\times 10^{?34}J?s$，這是近代物理中舉足輕重的一個常量，它的單位$J?s$是作用量(action)的單位，另一個常用的Planck常量的形式是$?=h/2\pi$（約化Planck常量）。這個常量被Planck用在Planck公式（電磁波的能量）中：
$$E=h\nu =?w$$

$E$是能量，$\nu$是頻率(frequency)，$w$是角頻率(angular frequency)或幅角頻率，$w=2\pi \nu$；因為動量的大小是$E/c$（電磁波的動量），于是
$$\text{P}=\frac{E}{c}\frac{\text{P}}{|\text{P}|}=\frac{?w}{c}\frac{\text{P}}{|\text{P}|}=?\text{k}$$

這個公式被稱為Einstein-Planck公式，其中$\text{k}$被稱為波數向量(wave vector or wave number vector)，它的大小是
$$|\text{k}|=\frac{w}{c}=\frac{2\pi \nu }{c}=\frac{2\pi }{\lambda }$$

這里$\lambda$表示波長，波數的含義是在一個單位幅角長度即$2\pi$范圍內出現的全波的數目。這兩個公式雖然形式上非常簡單但物理意義非常豐富，波長、角頻率、波數等描述光的波動性；動量、能量描述波的粒子性，在這兩個公式中，聯系波與粒子之間唯一橋梁就是Planck常量。1915年Millikan的光電效應實驗與1923年的Compton散射實驗等著名物理實驗論證了光的粒子性。

物質波

1922到1923年間，de Broglie提出了物質波的概念，并推導出了物質波的角頻率
$$w_0=\frac{m_0{c}^2}{?}$$

他認為靜止質量形成的物質波是一種駐波，并寫出了波動形式$e^{?i{w}_0\tau }$，$\tau$固有時間(proper time)，也就是在相對論中與這個靜止質量在同處的時鐘所測量的唯一時間。如果觀察者相對靜止質量的速度為$v$（假設沿$x$方向），用$t$表示觀察者同處的時鐘所測得的時間，則用Lorentz變換
$$\tau =\frac{t?\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1?\frac{v^2}{c^2}}}$$

代入到物質波的波動形式中
$$e^{?i{w}_0\tau }=e^{?i\left[\frac{m_0{c}^2(t?\frac{v^2}{c}x)}{?\sqrt{1?\frac{v^2}{c^2}}}\right]}=e^{?\frac{i}{?}(Et?P_{x}x)}$$

其中
$$E=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1?\frac{v^2}{c^2}}},P_x=\frac{m_{0}v}{\sqrt{1?\frac{v^2}{c^2}}}$$

二者表示觀察者觀測到的這個"靜止質量"的能量與動量，這兩個量都符合狹義相對論的公式。對于一般情況，物質波的波動形式可以表示為
$$e^{\frac{i}{?}(P_{x}x+P_{y}y+P_{z}z?Et)}$$

或者
$$e^{\frac{i}{?}\int \text{P}?d\text{r}?Edt}$$

在Minkowski空間$(ct,x,y,z)$中，時空微元$cd\tau$對應距離為
$$c^2(d\tau {)}^2=c^2(dt{)}^2?(dx{)}^2?(dy{)}^2?(dz{)}^2$$

所以原時的微分為
$$\begin{gathered} d\tau =dt\sqrt{1?\frac{1}{c^2}\left[{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2\right]} \\ =dt\sqrt{1?\frac{v^2}{c^2}} \end{gathered}$$

所以物質波的波動形式為
$$\begin{gathered} e^{\frac{i}{?}\int \text{P}?d\text{r}?Edt} \\ =e^{\frac{i}{?}\int ?m_0{c}^{2}dt\sqrt{1?\frac{1}{c^2}\left[{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2\right]}} \\ =e^{?\frac{i}{?}{m}_0{c}^2\int d\tau } \end{gathered}$$

在上面的幾個公式中，積分號中的量都是作用量的微元，比如$\text{P}?d\text{r}?Edt$與$?m_0{c}^{2}dt\sqrt{1?\frac{1}{c^2}\left[{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2\right]}$，它們的積分是作用量。用$S(x,y,z,t)$表示作用量，則物質波的波動形式為
$$e^{\frac{i}{?}S(x,y,z,t)}$$

我們用$e^{?\frac{i}{?}(Et?\text{P}?\text{r})}$這個形式比較一下物質波與電磁波。根據Planck公式與Einstein-Planck公式
$$\begin{gathered} E=?w=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1?\frac{v^2}{c^2}}} \\ \text{P}=?\text{k}=\frac{m_0\text{v}}{\sqrt{1?\frac{v^2}{c^2}}} \end{gathered}$$

根據第二個方程可以得到物質波的波長：
$$\lambda =\frac{h}{|\text{P}|}$$

物質波的波速為
$$u_{ph}=\frac{w}{|\text{k}|}=\frac{c^2}{|\text{v}|}$$

這是遠大于光速的，所以這個速度并不是物質波的能量傳播速度，我們稱之為相速度。仿照電磁波的波動方程，我們可以寫出無自旋質量為$m_0$的物質波波動方程：
$$\left[\Delta ?\frac{1}{u_{ph}^2}\frac{{?}^2}{?t^2}\right]\psi (x,y,z,t)=0$$

這里$\psi$表示物質波的波函數，$\psi ={\psi }_0{e}^{i(\text{k}?\text{r}?wt)}$，則
$$\left[\Delta ?\frac{1}{c^2}\frac{{?}^2}{?t^2}?\frac{m_0^2{c}^2}{{?}^2}\right]\psi (x,y,z,t)=0$$

這個方程被稱為Klein-Gordon方程，雖然Schrodinger也導出過這個方程，但他用這個方程來演算氫原子的能階結構的時候發現合不上，所以就放棄了這個結果（1927-1928年，物理學家發現這是因為電子的自旋是1/2而不是0）。后來物理學家發現這個方程可以應用在$\pi$介子（1935年，Yokawa預測并提出的）上。Yokawa的預測工作簡單來說就是考慮不含時的Klein-Gordon方程，并假設$\psi (x,y,z)$滿足球對稱，即
$$?(r)=\psi (x,y,z),r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

此時Klein-Gordon方程可以寫成：
$$\frac{{?}^2}{?r^2}(r?)?\frac{m_0^2{c}^2}{{?}^2}r?=0$$

它的解為
$$?=C\frac{1}{r}{e}^{?\frac{m_{0}c}{?}r}$$

$C$是積分常數，因為$\pi$介子的作用是傳導核力，所以作用范圍局限在原子核內，尺度大約是$10^{?15}$，由此可以從理論上預測$m_0$（$\pi$介子的質量）的大小（在$10^{?15}$內使$?$衰減到0），Yokawa認為應該是170MeV左右，后來1947年Cecil Powell等人的實驗發現了$\pi$介子并測出它的質量確實符合Yokawa的預測。

總結

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