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量子力学一基础2 作用量、普朗克常量与物质波

發(fā)布時間：2025/4/14 编程问答 35 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了量子力学一基础2 作用量、普朗克常量与物质波小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

量子力學(xué) 一基礎(chǔ)2 作用量、普朗克常量與物質(zhì)波

- Planck常數(shù)
- 物質(zhì)波

Planck常數(shù)

1900年，Planck發(fā)現(xiàn)了Planck常量 $h=6.6×10?34J?sh=6.6\times 10^{-34}J \cdot s$ ，這是近代物理中舉足輕重的一個常量，它的單位 $\cdot s$ 是作用量(action)的單位，另一個常用的Planck常量的形式是 $?=h/2π\(zhòng)hbar=h/2\pi$ （約化Planck常量）。這個常量被Planck用在Planck公式（電磁波的能量）中：
$h\nu= \hbar w$

$E$ 是能量， $ν\nu$ 是頻率(frequency)， $w$ 是角頻率(angular frequency)或幅角頻率， $\pi \nu$ ；因為動量的大小是 $E / c$ （電磁波的動量），于是
$P=EcP∣P∣=?wcP∣P∣=?k\textbf P = \frac{E}{c} \frac{\textbf P}{|\textbf P|} = \frac{\hbar w}{c}\frac{\textbf P}{|\textbf P|} = \hbar \textbf k$

這個公式被稱為Einstein-Planck公式，其中 $k\textbf k$ 被稱為波數(shù)向量(wave vector or wave number vector)，它的大小是
$∣k∣=wc=2πνc=2πλ|\textbf k| = \frac{w}{c} = \frac{2 \pi\nu}{ c} = \frac{2\pi}{\lambda}$

這里 $λ\lambda$ 表示波長，波數(shù)的含義是在一個單位幅角長度即 $2π2\pi$ 范圍內(nèi)出現(xiàn)的全波的數(shù)目。這兩個公式雖然形式上非常簡單但物理意義非常豐富，波長、角頻率、波數(shù)等描述光的波動性；動量、能量描述波的粒子性，在這兩個公式中，聯(lián)系波與粒子之間唯一橋梁就是Planck常量。1915年Millikan的光電效應(yīng)實驗與1923年的Compton散射實驗等著名物理實驗論證了光的粒子性。

物質(zhì)波

1922到1923年間，de Broglie提出了物質(zhì)波的概念，并推導(dǎo)出了物質(zhì)波的角頻率
$w0=m0c2?w_0 = \frac{m_0c^2}{\hbar}$

他認為靜止質(zhì)量形成的物質(zhì)波是一種駐波，并寫出了波動形式 $e?iw0τe^{-iw_0\tau}$ ， $τ\tau$ 固有時間(proper time)，也就是在相對論中與這個靜止質(zhì)量在同處的時鐘所測量的唯一時間。如果觀察者相對靜止質(zhì)量的速度為 $v$ （假設(shè)沿 $x$ 方向），用 $t$ 表示觀察者同處的時鐘所測得的時間，則用Lorentz變換
$τ=t?vc2x1?v2c2\tau = \frac{t - \frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

代入到物質(zhì)波的波動形式中
$e?iw0τ=e?i[m0c2(t?v2cx)?1?v2c2]=e?i?(Et?Pxx)e^{-iw_0\tau} = e^{-i \left[ \frac{m_0c^2(t-\frac{v^2}{c}x)}{\hbar \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \right]} = e^{-\frac{i}{\hbar}(Et-P_xx)}$

其中
$\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},P_x = \frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

二者表示觀察者觀測到的這個"靜止質(zhì)量"的能量與動量，這兩個量都符合狹義相對論的公式。對于一般情況，物質(zhì)波的波動形式可以表示為
$ei?(Pxx+Pyy+Pzz?Et)e^{\frac{i}{\hbar}(P_xx+P_yy+P_zz-Et)}$

或者
$ei?∫P?dr?Edte^{\frac{i}{\hbar}\int \textbf P \cdot d \textbf r -E dt}$

在Minkowski空間 $(c t, x, y, z)$ 中，時空微元 $cdτcd\tau$ 對應(yīng)距離為
$c2(dτ)2=c2(dt)2?(dx)2?(dy)2?(dz)2c^2(d\tau)^2=c^2(dt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2$

所以原時的微分為
$\tau = dt \sqrt{1-\frac{1}{c^2}\left[ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2+\left( \frac{dz}{dt} \right)^2 \right]} \\ = dt \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

所以物質(zhì)波的波動形式為
$ei?∫P?dr?Edt=ei?∫?m0c2dt1?1c2[(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2]=e?i?m0c2∫dτe^{\frac{i}{\hbar}\int \textbf P \cdot d \textbf r -E dt} \\ = e^{\frac{i}{\hbar} \int -m_0c^2 dt \sqrt{1-\frac{1}{c^2}\left[ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2+\left( \frac{dz}{dt} \right)^2 \right]}} \\=e^{-\frac{i}{\hbar}m_0c^2 \int d \tau}$

在上面的幾個公式中，積分號中的量都是作用量的微元，比如 $P?dr?Edt\textbf P \cdot d \textbf r -E dt$ 與 $?m0c2dt1?1c2[(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2]-m_0c^2 dt \sqrt{1-\frac{1}{c^2}\left[ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2+\left( \frac{dz}{dt} \right)^2 \right]}$ ，它們的積分是作用量。用 $S (x, y, z, t)$ 表示作用量，則物質(zhì)波的波動形式為
$ei?S(x,y,z,t)e^{\frac{i}{\hbar}S(x,y,z,t)}$

我們用 $e?i?(Et?P?r)e^{-\frac{i}{\hbar}(Et-\textbf P \cdot \textbf r)}$ 這個形式比較一下物質(zhì)波與電磁波。根據(jù)Planck公式與Einstein-Planck公式
$\hbar w = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ \textbf P = \hbar \textbf k=\frac{m_0\textbf v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

根據(jù)第二個方程可以得到物質(zhì)波的波長：
$λ=h∣P∣\lambda = \frac{h}{|\textbf P|}$

物質(zhì)波的波速為
$uph=w∣k∣=c2∣v∣u_{ph} = \frac{w}{|\textbf k|} = \frac{c^2}{|\textbf v|}$

這是遠大于光速的，所以這個速度并不是物質(zhì)波的能量傳播速度，我們稱之為相速度。仿照電磁波的波動方程，我們可以寫出無自旋質(zhì)量為 $m_0$ 的物質(zhì)波波動方程：
$[Δ?1uph2?2?t2]ψ(x,y,z,t)=0\left[ \Delta -\frac{1}{u_{ph}^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right] \psi(x,y,z,t)=0$

這里 $ψ\psi$ 表示物質(zhì)波的波函數(shù)， $ψ=ψ0ei(k?r?wt)\psi =\psi_0 e^{i(\textbf k \cdot \textbf r -wt)}$ ，則
$[Δ?1c2?2?t2?m02c2?2]ψ(x,y,z,t)=0\left[ \Delta -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}\right] \psi(x,y,z,t)=0$

這個方程被稱為Klein-Gordon方程，雖然Schrodinger也導(dǎo)出過這個方程，但他用這個方程來演算氫原子的能階結(jié)構(gòu)的時候發(fā)現(xiàn)合不上，所以就放棄了這個結(jié)果（1927-1928年，物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)這是因為電子的自旋是1/2而不是0）。后來物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)這個方程可以應(yīng)用在 $π\(zhòng)pi$ 介子（1935年，Yokawa預(yù)測并提出的）上。Yokawa的預(yù)測工作簡單來說就是考慮不含時的Klein-Gordon方程，并假設(shè) $ψ(x,y,z)\psi(x,y,z)$ 滿足球?qū)ΨQ，即
$?(r)=ψ(x,y,z),r=x2+y2+z2\phi(r) = \psi(x,y,z),r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

此時Klein-Gordon方程可以寫成：
$?2?r2(r?)?m02c2?2r?=0\frac{\partial^2}{\partial r^2 }(r \phi)-\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2} r\phi = 0$

它的解為
$?=C1re?m0c?r\phi =C \frac{1}{r}e^{-\frac{m_0c}{\hbar}r}$

$C$ 是積分常數(shù)，因為 $π\(zhòng)pi$ 介子的作用是傳導(dǎo)核力，所以作用范圍局限在原子核內(nèi)，尺度大約是 $10^{-15}$ ，由此可以從理論上預(yù)測 $m_0$ （ $π\(zhòng)pi$ 介子的質(zhì)量）的大小（在 $10^{-15}$ 內(nèi)使 $?\phi$ 衰減到0），Yokawa認為應(yīng)該是170MeV左右，后來1947年Cecil Powell等人的實驗發(fā)現(xiàn)了 $π\(zhòng)pi$ 介子并測出它的質(zhì)量確實符合Yokawa的預(yù)測。

總結(jié)

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