UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射11 簡單輻射問題 電偶極子的輻射

一對帶等量相反電量的點電荷構成一對電偶極子，假設電量為$q$，兩個點電荷的距離為$a$，dipole moment為$qa$；現在考慮更一般的情況，假設電荷密度為$\rho ({\text{x}}^{\prime })$，則dipole moment為
$$\text{P}=\int \rho ({\text{x}}^{\prime }){\text{x}}^{\prime }{d}^3{\text{x}}^{\prime }$$

考慮dipole moment的輻射，作為一種不嚴謹的簡化，假設$\lambda >>a$，則$k{r}^{\prime }<<1$，
$${\text{A}}_w\approx \frac{e^{ikr}}{cr}\int {\text{J}}_w{d}^3{\text{x}}^{\prime }$$

根據電荷守恒，
$$??\text{J}+\frac{?\rho }{?t}=0$$

在time harmonic下，
$$??{\text{J}}_w=iw{\rho }_w$$

用分部積分，
$$\begin{gathered} \int {\text{J}}_w{d}^3{\text{x}}^{\prime }=\int ??({\text{x}}^{\prime }?{\text{J}}_w)d^3{\text{x}}^{\prime }?\int {\text{x}}^{\prime }??{\text{J}}_w{d}^3{\text{x}}^{\prime } \\ =?\int {\text{x}}^{\prime }??{\text{J}}_w{d}^3{\text{x}}^{\prime }=?iw\int {\text{x}}^{\prime }{\rho }_w{d}^3\text{x} \end{gathered}$$

其中$\int {\text{x}}^{\prime }{\rho }_w{d}^3\text{x}$的物理含義是time harmonic dipole moment，記為${\text{P}}_w$，于是
$${\text{A}}_w\approx ?\frac{e^{ikr}}{r}iw{\text{P}}_w$$

電場為
$$\begin{gathered} \text{E}=?ik[\hat{r}(\hat{r}?{\text{A}}_w)?{\text{A}}_w] \\ =k^2\frac{e^{ikr}}{r}[\hat{r}(\hat{r}?{\text{P}}_w)?{\text{P}}_w]=k^2\frac{e^{ikr}}{r}{\text{P}}_w^{\perp } \end{gathered}$$

總結

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