UA OPTI570 量子力學1 電磁波與光子

• • Planck-Einstein Relations
  • Wave-Particle Duality與雙縫干涉
  • 光的偏振

Planck-Einstein Relations

早期，牛頓為了解釋光的反射之類的現象，把光理解成一束粒子；而在十九世紀上半葉，光的波動性（干涉、衍射等）被逐漸發現，這為之后把物理光學納入到電磁理論的框架內奠定了基礎。在電磁理論框架下，光速$c$與Permittivity與Permeability直接相關，光的偏振也被認為是電磁場作為矢量場的表現。然而在1990年，普朗克在關于Blackbody Radiation（黑體輻射）這個電磁理論無法解釋的領域的研究中提出了quantization of energy假說：頻率為$\nu$的電磁波的能量只可能是$h\nu$的整數倍，這里的$h$是普朗克常數。愛因斯坦擴展了這個假設并運用到粒子物理中，他提出光是由一束Photon（光子）構成的，每一個光子擁有的能量為$h\nu$，這個假設被愛因斯坦用于解釋Photoelectric Effect（光電效應）。1924年，Compton effect的發現證實了光子的存在。以上的種種發現說明光與介質之間的交互并不能簡單理解為粒子與粒子、粒子與場之間的交互，而是應該視作整體來討論。體現光的粒子性的參數（能量$E$與一個光子的動量$\text{p}$）與體現光的波動性的參數（角頻率$w=2\pi \nu$與波向量$\text{k}$，$|\text{k}|=\frac{2\pi }{\lambda }$）之間存在下面的基本關系：
$$\begin{gathered} E=h\nu =?w \\ \text{p}=?\text{k} \end{gathered}$$

粗體表示矢量，$?$是約化普朗克常數，$?=\frac{h}{2\pi }$，
$$h\approx 6.26\times 10^{?34}J?s$$

Wave-Particle Duality與雙縫干涉

我們從楊氏雙縫干涉實驗開始分析，上圖part a就是楊氏雙縫干涉實驗裝置部分，假設最左端的光源向各個方向發出的光是相干的，經過狹縫F1與F2后傳播到位于原點的屏上，可以觀察到光強的分布；假設光的粒子說成立，那么結果就應該如part b所示，屏上光強的分布就是經過F1到達屏上的光強$I_1$與經過F2到達屏上的光強$I_2$的簡單相加；但實際結果卻是如part c所示，屏上呈現明暗條紋交錯分布的特點，光強也是遵循一定規律在極大值與極小值之間震蕩的，而這種規律正好可以由光的波動性解釋，這些就是我們耳熟能詳的楊氏雙縫干涉實驗的內容（想了解更詳細的可以參考這一篇）。

但是關于楊氏雙縫干涉實驗還有一些有趣的細節。如果在屏上貼一張底片，并讓實驗持續較長時間，使得即使是暗條紋的位置也可以接收到足夠多的曝光，但實際結果卻是即使延長曝光時間，暗條紋依然存在，這進一步說明只靠光的粒子說解釋不了干涉現象；而如果只讓實驗持續非常短的時間，假設干涉現象可以只用光的波動說解釋，那么底片上依然會出現清晰的明暗條紋，然而實際卻是極短時間的曝光并不會出現明顯的干涉現象，這說明只靠光的波動說也解釋不了光的干涉。

這時只要回過頭再重新思考一下這個實驗就會發現，它的結果已經摧毀了我們基于經典力學的認知。第一點就是關于實驗中的測量，在經典力學中，我們有很多手段在實驗對象的運動過程中測量其性質，并且在測量的過程中對整個力學系統的影響非常小甚至可以忽略；但是在雙縫干涉實驗中，如果光源可以一個一個地發出光子，那么如果我們想在F2狹縫處測量到達這里的光子的屬性，它就到達不了屏上了，當經過F2的光子都被這樣測量一次時，屏上的明暗干涉條紋都不會出現了，只會出現經過F1的光子造成的單狹縫衍射條紋，也就是說測量會對系統造成極大影響。第二點是關于運動過程的確定性問題，在經典力學中，固定參數的力學系統只要初始條件相同，就一定能夠產生一樣運動，但是在雙縫干涉實驗中，盡管所有的光子都是從同一個光源發出的，但經過不同狹縫的光子明顯表現出了不同的性質（如果性質相同實驗結果會是前文圖中part b的結果），也就是即使初始條件一致也無法復制出相同的運動模式。

在面臨這么的挑戰的情況下，經過物理學家們的不懈努力，波粒二象性(Wave-Particle Duality)的概念終于被提出來了，一些核心的結論如下：

光的粒子性與波動性與不可分割的，光的波動性讓我們可以去計算它的粒子性的行為的概率；

對光子的行為只能做出或然性的預測

在時間$t$時，關于光子的信息是由波函數$\text{E}(\text{r},t)$給定的，這個波函數就是Maxwell方程的解，它代表光子在給定位置-時間下的狀態，也可以被解釋為光子出現在此時此刻的概率幅（probability amplitude，實際概率會與概率幅的模的平方成正比）

基于波粒二象性，我們可以試圖去解釋雙縫干涉了：光子在到達屏之前出現在什么位置是不確定的，但是會遵循特定的概率分布，經過F1與F2的光子依照惠更斯原理可以理解成從F1與F2這兩個相干光源發出來的，它們有不同的波函數$\text{E}(\text{r},t)$，所以有不同的概率分布；每一個到達屏上的光子就相當于它對應的概率分布的一個樣本，時間足夠長之后，樣本量足夠大，根據大數定律，屏上的條紋反應的其實是F1與F2這兩個相干光源發出來的兩種概率分布的疊加。

光的偏振

假設光沿$z$軸傳播，電場為$\text{E}(\text{r},t)=E_0{\text{e}}_p{e}^{i(\text{k}\text{z}?wt)}$，光強為$I=|E_0{|}^2$，xOy平面上有一個方向為${\text{e}}_x$的偏振片，則經過偏振片后到達分析器A處時，電場偏振方向已經變成了$\hat{x}$：
$${\text{E}}^{\prime }(\text{r},t)=E_0^{\prime }\text{x}{e}^{i(\text{k}\text{z}?wt)}$$

光強為
$$I^{\prime }=|E_0^{\prime }{|}^2=I{\cos }^2\theta$$

這是我們比較熟悉的，把光做矢量分解來解釋偏振的思路，現在我們可以嘗試用波粒二象性解釋一下光的偏振。同樣假設光子是一個一個從光源發出沿$z$軸運動的，每一個光子偏振方向都是隨機的，但是能通過偏振片的概率為${\cos }^2\theta$，于是在分析器A接收到足夠多光子后，根據大數定律，光強就會趨近于$I{\cos }^2\theta$。

總結

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