UA OPTI570 量子力學17 創生算符與湮滅算符

• • 湮滅算符
  • 創生算符
  • 階梯算符的特征方程

假設$[\hat{A},{\hat{A}}^{?}]=\hat{1}$，構造
$$\hat{N}={\hat{A}}^{?}\hat{A}$$

這一篇嘗試得到$\hat{N}$的特征方程$\hat{N}|n?=n|n?$，以及$\hat{A},{\hat{A}}^{?}$對$\hat{N}$的本征態的作用。通常稱${\hat{A}}^{?}$為創生算符（creation operator），稱$\hat{A}$為湮滅算符（annihilation operator），二者合稱階梯算符（ladder operators）。

因為$[\hat{A},{\hat{A}}^{?}]$是恒等算符，通常認為這是無量綱的，所以$\hat{A}$應該是無量綱的算符，那么相應的，$\hat{N}$也是無量綱的算符。并且$\hat{A}$不能是厄爾米特算符，否則$[\hat{A},{\hat{A}}^{?}]$就會是零算符了，但
$${\hat{N}}^{?}=({\hat{A}}^{?}\hat{A}{)}^{?}={\hat{A}}^{?}\hat{A}=\hat{N}$$

因此$\hat{N}$是厄爾米特算符，它的特征值全都是實數，并且全部是非負實數。

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湮滅算符

先做一些初步計算
$$\hat{N}|n?=n|n?={\hat{A}}^{?}\hat{A}|n?={\hat{A}}^{?}|\psi ?$$

這里定義$|\psi ?=\hat{A}|n?$，驗證它的模是否為1：
$$\begin{array}{r}?\psi |\psi ?=?n|{\hat{A}}^{?}\hat{A}|n?=?n|\hat{N}|n?=n?n|n?=n\in {\mathbb{R}}^{+}\end{array}$$

也就是說$|\psi ?$并沒有標準化。

前文提到$n\ge 0$，如果$0$是$\hat{N}$的特征值，假設它對應的特征右矢為$|0?$，則根據標準化條件$?0|0?=1$，而根據$|\psi ?$的計算，
$$?0|{\hat{A}}^{?}\hat{A}|0?=(\hat{A}|0?,\hat{A}|0?)=0?\hat{A}|0?=0$$

如果$n>0$，則
$$\hat{N}|\psi ?={\hat{A}}^{?}\hat{A}|\psi ?={\hat{A}}^{?}\hat{A}\hat{A}|n?$$

因為$[\hat{A},{\hat{A}}^{?}]=\hat{A}{\hat{A}}^{?}?{\hat{A}}^{?}\hat{A}=\hat{1}$，可以把${\hat{A}}^{?}\hat{A}$替換為$\hat{A}{\hat{A}}^{?}?\hat{1}$，
$$\begin{gathered} {\hat{A}}^{?}\hat{A}\hat{A}|n?=(\hat{A}{\hat{A}}^{?}?\hat{1})\hat{A}|n?=\hat{A}{\hat{A}}^{?}\hat{A}|n??\hat{A}|n? \\ =\hat{A}\hat{N}|n??\hat{A}|n?=\hat{A}n|n??\hat{A}|n?=(n?1)\hat{A}|n? \end{gathered}$$

這說明$|\psi ?\in span(|n?1?)$，假設$?c\in \mathbb{C}$使得$|\psi ?=c|n?1?$，根據標準化條件
$$?\psi |\psi ?=?n|{\hat{A}}^{?}\hat{A}|n?=|c{|}^2?n?1|n?1?=|c{|}^2=n>0$$

那么為了簡便起見，可以取$c=\sqrt{n}$。綜上，
$$|\psi ?=\{\begin{array}{l}\sqrt{n}|n?1?,n>0\\ 0,n=0\end{array}$$

要使$|n?1?$存在，需要$n?1\ge 0$，并且$n$為整數，否則不停重復上述過程總會得到$?1<n?1<0$的情況，比如$n=1.2$，則與$\hat{A}$作用一次后，本征態成為$|0.2?$，再作用一次后得到$|?0.8?$，而$?0.8$不可能是$\hat{N}$的特征值。

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創生算符

現在考慮${\hat{A}}^{?}$對$|n?$的作用，記$|??={\hat{A}}^{?}$對$|n?$，則
$$??|??=?n|\hat{A}{\hat{A}}^{?}|n?=?n|(1+{\hat{A}}^{?}\hat{A})|n?=n+1$$

也就是說$|??$也沒有標準化，但它同樣屬于$\hat{N}$的某個特征子空間：
$$\hat{N}|??={\hat{A}}^{?}\hat{A}{\hat{A}}^{?}|n?={\hat{A}}^{?}(1+{\hat{A}}^{?}\hat{A})|n?=(n+1)|??$$

所以(推導和$|\psi ?$的完全一樣，就不詳細寫了)
$$|??=\sqrt{n+1}|n+1?$$

綜上可以得到$\hat{N}$的本征態的兩個遞推關系：$?n\in \mathbb{Z}\cap {\mathbb{R}}^{+}$
$$\begin{gathered} {\hat{A}}^{?}|n?=\sqrt{n+1}|n+1? \\ \hat{A}|n?=\{\begin{array}{l}\sqrt{n}|n?1?,n>0\\ 0,n=0\end{array} \end{gathered}$$

所以
$$|n?=\frac{1}{\sqrt{n!}}({\hat{A}}^{?}{)}^n|0?$$

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階梯算符的特征方程

最后我們討論一下$\hat{A}$與${\hat{A}}^{?}$的本征態。用$\{|n?\}$作為基，它的closure relation為
$$\hat{1}=\sum _{n=0}^{+\infty }|n??n|$$

假設$\hat{A}$的特征方程為
$$\hat{A}|\alpha ?=\alpha |\alpha ?$$

則
$$|\alpha ?=\sum _{n=0}^{+\infty }|n??n|\alpha ?=\sum _{n=0}^{+\infty }{c}_n|n?$$

其中$c_n=?n|\alpha ?$，代入到特征方程：
$$\begin{gathered} \hat{A}|\alpha ?=\hat{A}\sum _{n=0}^{+\infty }{c}_n|n?=c_0\hat{A}|0?+\sum _{n=1}^{+\infty }{c}_n\hat{A}|n? \\ =0+\sum _{n=1}^{+\infty }{c}_n\sqrt{n}|n?1?=\sum _{n=0}^{+\infty }{c}_{n+1}\sqrt{n}|n?1?=\alpha \sum _{m=0}^{+\infty }{c}_m|m? \end{gathered}$$

要使對應右矢的系數相等，需要
$$c_{n+1}\sqrt{n}=\alpha c_n?c_n=\frac{{\alpha }^n}{\sqrt{n!}}{c}_0$$

所以
$$|\alpha ?=c_0\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{{\alpha }^n}{\sqrt{n!}}|n?$$

標準化條件是
$$\begin{gathered} ?\alpha |\alpha ?=1=\sum _m\sum _n{c}_0{c}_0^{?}\frac{{\alpha }^n({\alpha }^{?}{)}^m}{\sqrt{n!m!}}?m|n? \\ =\sum _m\sum _n{c}_0{c}_0^{?}\frac{{\alpha }^n({\alpha }^{?}{)}^m}{\sqrt{n!m!}}{\delta }_{mn}=|c_0{|}^2\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{|\alpha {|}^{2n}}{n!}=|c_0{|}^2{e}^{|\alpha {|}^2} \end{gathered}$$

于是，假設$c_0>0$，
$$\begin{gathered} c_0=e^{?\frac{|\alpha {|}^2}{2}} \\ |\alpha ?=e^{?\frac{|\alpha {|}^2}{2}}\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{{\alpha }^n}{\sqrt{n!}}|n? \end{gathered}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI570 量子力学17 创生算符与湮灭算符的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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