當前位置：首頁 > 编程资源 > 编程问答 >内容正文

编程问答

电动力学每日一题 2021/10/23 载流板产生的电磁场

發布時間：2025/4/14 编程问答 27 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了电动力学每日一题 2021/10/23 载流板产生的电磁场小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

電動力學每日一題 2021/10/23 載流板產生的電磁場

- 載流板的輻射

載流板的輻射

先驗證電荷守恒：
$?ρ?t=???J=???zJz=0\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot \textbf J = -\frac{\partial}{\partial z}J_z = 0$

這說明雖然在這塊載流板上存在交流電，但總電荷量并沒有變化。

在10/19的題目中我們討論了對含 $cos(w_0t)$ 這一項的函數直接做Fourier變換在后續計算中會出現發散的積分，無法得到有物理意義的結果。所以我們假設 $w_0=w'+iw''$ ，在最后結果中取 $\to 0$ ，
$J=Js0δ(y)eiw0?t+e?w0t2z^\textbf J = J_{s0}\delta(y) \frac{e^{iw_0^*t}+e^{-w_0 t}}{2} \hat z$

然后計算 $J\textbf J$ 的Fourier變換，
$J(k,w)=∫?∞+∞J(r,t)e?ik?rdr=Js02∫?∞+∞δ(y)eiw0?te?ik?rdrdt+Js02∫?∞+∞δ(y)e?w0te?ik?rdrdt=2π2Js0δ(kx)δ(kz)e?iw0tz^+2π2Js0δ(kx)δ(kz)eiw0?tz^\begin{aligned} \textbf J(\textbf k,w) & = \int_{-\infty}^{+\infty} \textbf J(\textbf r,t)e^{-i\textbf k\cdot \textbf r}d \textbf r \\ & = \frac{J_{s0}}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(y)e^{iw_0^*t}e^{-i\textbf k\cdot \textbf r}d \textbf r dt+\frac{J_{s0}}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(y)e^{-w_0t}e^{-i\textbf k\cdot \textbf r}d \textbf r dt \\ & = 2 \pi^2 J_{s0} \delta(k_x)\delta(k_z)e^{-iw_0 t}\hat z+2 \pi^2 J_{s0} \delta(k_x)\delta(k_z) e^{iw_0^*t} \hat z\end{aligned}$

下面分別計算這兩項產生的矢量勢，第一項產生的矢量勢為
$(2π)?3∫?∞+∞2π2μ0Js0δ(kx)δ(kz)e?iw0tz^k2?(w0/c)2eik?rdk=μ0Js0e?iw0tz^4π∫?∞+∞eikyyky2?(w0/c)2dky=μ0Js0e?iw0tz^4ππeiw0∣y∣/c?iw0/c=iZ0Js04w0e?iw0(t?∣y∣/c)z^\begin{aligned} & (2\pi)^{-3} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2 \pi^2 \mu_0 J_{s0} \delta(k_x)\delta(k_z)e^{-iw_0 t}\hat z}{k^2-(w_0/c)^2}e^{i \textbf k \cdot \textbf r}d \textbf k \\ = & \frac{\mu_0 J_{s0}e^{-iw_0 t}\hat z}{4 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{i k_yy}}{k_y^2-(w_0/c)^2}dk_y \\ = & \frac{\mu_0 J_{s0}e^{-iw_0 t}\hat z}{4 \pi} \frac{\pi e^{iw_0|y|/c}}{-iw_0/c} = \frac{iZ_0J_{s0}}{4 w_0}e^{-iw_0(t-|y|/c)} \hat z\end{aligned}$

其中
$\sqrt{\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}},Z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}$

第二項產生的矢量勢為，
$iZ0Js04w0eiw0?(t?∣y∣/c)z^\frac{iZ_0J_{s0}}{4 w_0}e^{iw_0^*(t-|y|/c)} \hat z$

當 $\to 0$ 時， $w_0=w_0^*$ ，
$A(r,t)=iZ0Js0z^4w0[eiw0?(t?∣y∣/c)+e?iw0(t?∣y∣/c)]=Z0Js02w0sin?(w0(t?∣y∣/c))z^\begin{aligned}\textbf A(\textbf r ,t) & = \frac{iZ_0J_{s0} \hat z}{4 w_0} [e^{iw_0^*(t-|y|/c)}+e^{-iw_0(t-|y|/c)}] \\ & = \frac{Z_0J_{s0}}{2w_0}\sin(w_0(t-|y|/c))\hat z\end{aligned}$

接下來要計算Electric field與Magnetic field，就懶得寫了

總結

以上是生活随笔為你收集整理的电动力学每日一题 2021/10/23 载流板产生的电磁场的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。

上一篇： UA OPTI501 电磁波求解麦克斯
下一篇： UA OPTI501 电磁波经典电动力