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UA OPTI512R 傅立叶光学导论17 离散傅立叶变换简介

發布時間：2025/4/14 编程问答 20 豆豆

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UA OPTI512R 傅立葉光學導論17 離散傅立葉變換簡介

- DFT及其矩陣形式
- DFT的性質

上一講提到對連續波形 $f (x)$ 做周期性采樣時可以用采樣函數來表示采樣結果：
$fS(x)=∑n=?∞+∞f(xn)δ(x?xn),xn=nΔf_S(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(x_n)\delta(x-x_n),x_n = n\Delta$

定義采樣頻率為 $ξS=Δ?1\xi_S=\Delta^{-1}$ ，假設 $f (x)$ 的帶寬為 $B$ ，記 $B=ξNyB=\xi_{Ny}$ 稱之為Nyquist frequency，Nyquist-Shannon采樣定理論述了如果 $Δ<B\Delta<B$ 或者說 $ξS>ξNy\xi_{S}>\xi_{Ny}$ ，則用采樣函數 $f_S(x)$ 可以完整還原出波形 $f (x)$ 。

采樣函數的Fourier變換為
$FS(ξ)=∫?∞+∞∑n=?∞+∞f(xn)δ(x?xn)e?j2πxξdx=∑n=?∞+∞f(nΔ)e?j2πnΔξF_S(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(x_n)\delta(x-x_n)e^{- j 2 \pi x \xi }dx=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(n \Delta)e^{-j2 \pi n \Delta \xi}$

這個結果可以視為 $f (x)$ 的某種變換的結果，因為它同時具備離散性（指變換具有級數的形式，并且變換的對象 ${f(nΔ)}\{f(n\Delta)\}$ 以及將其投影到的空間 ${e?j2πnΔξ}\{e^{-j2 \pi n \Delta \xi}\}$ 都是離散的）并且具有Fourier變換核（即 $e?j2π(space?timevariable)(frequency)e^{-j 2 \pi (space-time\ variable) (frequency)}$ ），所以稱這個變換為離散Fourier變換（Discrete Fourier Transform，DFT），下面我們嚴謹地討論離散傅立葉變換的定義與性質。

DFT及其矩陣形式

Space-limit Function
稱 $f (x)$ 為space-limit function如果 $f(x)=0,?x?[0,L)f(x)=0,\forall x \notin [0,L)$ 。

DFT的含義
考慮Space-limit Function，將 $[0, L)$ 均分為 $N$ 份，每一份的長度為 $L / N$ ，第 $n$ 個小區間的左端點為 $n L / N$ ，并以此作為采樣點，記對應的函數值為 $f [n] = f (n L / N)$ ，根據Nyquist-Shannon采樣定理，當 $ξ=nΔξ\xi=n\Delta_{\xi}$ 時，要想重構出 $F(ξ)F(\xi)$ ，需要
$1Δξ>LorΔξ<1/L\frac{1}{\Delta_{\xi}}>L\ or\ \Delta_{\xi}<1/L$

基于這個原則我們可以選擇一個合適的 $Δξ\Delta_{\xi}$ 并計算采樣函數的Fourier變換，這里我們考慮極限情況，取 $Δξ=1/L\Delta_{\xi}=1/L$ ，則
$FS(mΔξ)=∑n=0N?1f[n]e?j2π(nL/M)(mΔξ)=∑n=0N?1f[n]e?j2π(nm/M)\begin{aligned} F_S(m\Delta_{\xi}) = \sum_{n=0}^{N-1}f[n] e^{-j 2 \pi (nL/M)(m\Delta_{\xi})}=\sum_{n=0}^{N-1}f[n] e^{-j 2 \pi (nm/M)}\end{aligned}$

記這個結果為 $F [m]$ ，稱其為序列 ${f[n]\}$ 的離散Fourier變換，記為 $D F T [f [n]] = F [m]$ 。它的逆變換是
$f[n]=1N∑m=0N?1F[m]ej2πnmNf[n]=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}F[m]e^{j 2 \pi \frac{nm}{N}}$

DFT的變換核
考慮下面的序列 $ψk[n]=ej2πknN,n=0,1,?,N?1\psi_k[n]=e^{j2 \pi \frac{kn}{N}},n=0,1,\cdots,N-1$

它是DFT的變換核，具有一些有用的性質，比如序列 $ψk\psi_k$ 與 $ψm\psi_m$ 的內積為
$ψk[n]?ψm[n]=∑n=0N?1ej2πknNe?j2πmnN=∑n=0N?1ej2π(k?m)nN=1?ej2π(k?m)1?ej2πN(k?m)=Nδkm\begin{aligned} \psi_k[n] \cdot \psi_m[n] & = \sum_{n=0}^{N-1} e^{j2 \pi \frac{kn}{N}} e^{-j2 \pi \frac{mn}{N}}= \sum_{n=0}^{N-1} e^{j2 \pi \frac{(k-m)n}{N}} \\ &=\frac{1-e^{j 2 \pi (k-m)}}{1-e^{j \frac{2 \pi }{N}(k-m)}}=N\delta_{}km\end{aligned}$

這說明不同下標的序列之間是正交的。

DFT的矩陣形式
現在把序列 $ψk[n]\psi_k[n]$ 用向量表示（ $?^*$ 表示矩陣或向量的共軛轉置）
$ψ?k?=[ψk(0),ψk(1),?,ψk(N?1)]\vec \psi^*_k=[\psi_k(0),\psi_k(1),\cdots,\psi_k(N-1)]$

用這個向量構成矩陣 $D F T$ 的第 $k$ 行，即
$\left[ \begin{matrix} \vec \psi^*_0 \\ \vec \psi^*_1 \\ \cdots \\ \vec \psi^*_{N-1} \end{matrix}\right]$

因為不同下標的序列之間是正交的，所以 $D F T$ 是一個酉矩陣（實際上除于 $N$ 才是）。用向量 $f?\vec f$ 表示離散信號， $F?\vec F$ 表示它的離散Fourier變換
$f?=[f[0],f[1],?,f[N?1]]F?=[F[0],F[1],?,F[N?1]]\vec f = [f[0],f[1],\cdots,f[N-1]] \\ \vec F =[F[0],F[1],\cdots,F[N-1]]$

則離散Fourier變換可以表示為
$F?=DFT?f?\vec F = DFT \cdot \vec f$

這是一個酉變換，它的逆變換為
$f?=1NDFT??F?\vec f =\frac{1}{N} DFT^* \cdot \vec F$

DFT的性質

線性性
$DFT[αf[n]+βg[n]]=αDFT[f[n]]+βDFT[g[n]]DFT[\alpha f[n]+\beta g[n]]=\alpha DFT[f[n]]+\beta DFT[g[n]]$

上面說了DFT是酉變換，所以線性性必然成立。

周期性

Shifting

Kronecker符號

總結

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