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UA OPTI570 量子力学30 Degenerate Stationary Perturbation Theory简介

發布時間：2025/4/14 编程问答 22 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA OPTI570 量子力学30 Degenerate Stationary Perturbation Theory简介小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

UA OPTI570 量子力學30 Degenerate Stationary Perturbation Theory簡介

- 回顧：Nondegenerate Stationary Perturbation Theory
- 例：用Nondegenerate Stationary Perturbation Theory方法處理Degenerate Stationary Perturbation
- Degenerate Stationary Perturbation Theory總結

回顧：Nondegenerate Stationary Perturbation Theory

上一講介紹了Nondegenerate Stationary Perturbation Theory，它的作用是近似計算復雜Hamitonian的特征方程。假設 $H^=H0+λW^\hat H=H_0+\lambda \hat W$ ， $W^\hat W$ 是一個已知的算符， $λ\lambda$ 是一個絕對值遠小于1的實數， $λW^\lambda \hat W$ 被稱為small perturbation； $H_0$ 是一個已知的哈密頓量，特征方程為
$H0∣?ni?=En0∣?ni?,i=1,?,gnH_0|\phi_n^i \rangle = E_n^0 |\phi_n^i \rangle,i=1,\cdots,g_n$

定義 $H^\hat H$ 的特征方程為
$H^∣ψn,j?=En,j∣ψn,j?,j=1,?,gn\hat H |\psi_{n,j}\rangle = E_{n,j}|\psi_{n,j}\rangle,j=1,\cdots,g_n$

假設 $g_n=1$ ，稱這種Stationary Perturbation Theory為Nondegenerate Stationary Perturbation Theory，此時指標 $i, j$ 可忽略，主要結論為
$En≈En0+λ??n∣W^∣?n?+λ2∑p≠n∑i=1gp∣??pi∣W^∣?n?∣2En0?Ep0∣ψn?≈∣?n?+λ∑p≠n∑i=1gp??pi∣W^∣?n?En0?Ep0∣?pi?E_n\approx E_n^0+\lambda \langle \phi_n | \hat W | \phi_n \rangle + \lambda^2 \sum_{p \ne n}\sum_{i=1}^{g_p}\frac{|\langle \phi_p^i|\hat W | \phi_n \rangle|^2}{E_n^0-E_p^0} \\ |\psi_n \rangle \approx |\phi_n \rangle + \lambda \sum_{p \ne n}\sum_{i=1}^{g_p}\frac{\langle \phi_p^i|\hat W|\phi_n \rangle}{E_n^0-E_p^0}|\phi_p^i \rangle$

需要注意的是，雖然 $H_0$ 與本征值 $E_n^0$ 對應的本征態不存在degeneracy，但是它與其他本征值 $Ep0,p≠nE_p^0,p \ne n$ 對應的本征態可能存在degeneracy，上式中 $g_p$ 就代表index of denegeracy。

例：用Nondegenerate Stationary Perturbation Theory方法處理Degenerate Stationary Perturbation

Degenerate Stationary Perturbation Theory的思想就是用Nondegenerate Stationary Perturbation Theory分別處理 $i=1,?,gni=1,\cdots,g_n$ 的degeneracy，這里用一個例子說明Degenerate Stationary Perturbation Theory的思想。

考慮2-D isotropic Q.H.O.
$H0=Px2+Py22m+12mw2(X2+Y2)H_0=\frac{P_x^2+P_y^2}{2m}+\frac{1}{2}mw^2(X^2+Y^2)$

假設perturbation為
$W=λW^=λmw2XYW=\lambda \hat W = \lambda mw^2 XY$

定義perturbed Hamitonian為 $H=H_0+W$ ，雖然 $H$ 的特征方程可以準確推導出來，但為了說明perturbation theory，我們嘗試用近似方法。

首先我們來明確一下每個算符的大小的階， $H_0$ 是量子諧振子的哈密頓量，它的scale自然是 $?w\hbar w$ ，位置算符 $X, Y$ 的scale自然是quantum length scale $σ=?mw\sigma=\sqrt{\frac{\hbar}{mw}}$ ，而 $mw2σ2=?wmw^2\sigma^2=\hbar w$ ，所以 $W^\hat W$ 的scale也是 $?w\hbar w$ ；

接下來我們選擇合適的表象，考慮哈密頓量的特征方程，最簡單的表象自然就是能量表象了，在能量表象中， $H_0$ 的特征方程為
$H0∣nx,ny?=Enx+ny0∣nx,ny?,Enx+ny0=?w(nx+ny+1)H_0|n_x,n_y \rangle=E_{n_x+n_y}^0 |n_x,n_y \rangle,E_{n_x+n_y}^0=\hbar w(n_x+n_y+1)$

能量表象下態空間的基為
${∣0,0?,∣1,0?,∣0,1?,∣2,0?,∣1,1?,∣0,2?,?}={∣?0?,∣?11?,∣?12?,∣?21?,∣?22?,∣?23?,?}\{|0,0\rangle,|1,0 \rangle,|0,1\rangle,|2,0 \rangle,|1,1 \rangle,|0,2 \rangle,\cdots\} \\ = \{|\phi_0 \rangle,|\phi_1^1 \rangle,|\phi_1^2 \rangle,|\phi_2^1 \rangle,|\phi_2^2 \rangle,|\phi_2^3 \rangle,\cdots\}$

其中 $∣?0?|\phi_0 \rangle$ 表示基態， $∣?jkj?|\phi_j^{k_j} \rangle$ 中的 $j$ 表示2維量子諧振子第 $j$ 激發態， $k_j$ 表示表示2維量子諧振子第 $j$ 激發態中 $X, Y$ 方向的激發狀態。在能量表象下，
$H0=?w?diag(1,2,2,3,3,3,?)=?w[122333?]W^=12?w(ax?ay?+ax?ay+axay?+axay)=?w[0101100201202020?]H_0=\hbar w \cdot diag(1,2,2,3,3,3,\cdots) = \hbar w \left[ \begin{matrix} 1 \\ & 2 \\ & & 2 \\ & & & 3 \\ & & & & 3 \\ & & & & & 3 \\ & & & & & & \cdots\end{matrix} \right] \\ \hat W =\frac{1}{2}\hbar w(a_x^{\dag}a_y^{\dag}+a_x^{\dag}a_y+a_xa_y^{\dag}+a_xa_y) \\ = \hbar w \left[ \begin{matrix} 0 & & & & 1 \\ & 0 & 1 \\ & 1 & 0 \\ & & & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 1& & & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\ & & & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ & & & & & & \cdots\end{matrix} \right]$

從這兩個矩陣表示中，我們很容易就能看出分塊的模式的， $W^\hat W$ 第一塊就是0，對應基態下 $W^\hat W$ 的矩陣表示，第二塊是 $[0110]\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix} \right]$ ，記為 $W^(1)\hat W^{(1)}$ ，表示第一激發態對應的 $W^\hat W$ 的矩陣表示，依次類推，第 $n$ 個分塊矩陣記為 $W^(n)\hat W^{(n)}$ ，表示第 $n=n_x+n_y$ 個激發態下 $W^\hat W$ 的矩陣表示。用類似的分塊方法也可以對 $H_0$ 的矩陣表示做分塊，第 $n$ 個分塊矩陣記為 $H_0^{(n)}$ ，表示第 $n$ 個激發態下 $H_0$ 的矩陣表示。

進行分塊以后，在每個激發態下，我們都可以使用Nondegenerate Stationary Perturbation Theory近似計算 $H(n)=H0(n)+W^(n)H^{(n)}=H_0^{(n)}+\hat W^{(n)}$ 的特征方程。先計算基態的近似，
$E0=E00+λ?0,0∣W^∣0,0?+λ2∑px,py≠0∣?px,py∣W^∣0,0?∣2E00?(px+py+1)?w=?w+0+(λ2?w)2?2?w=?w(1?λ28)∣ψ0?=∣0,0??λ4∣1,1??Normalization∣0,0??λ4∣1,1?1+λ216\begin{aligned}E_0 & = E_0^0+\lambda \langle 0,0|\hat W |0,0 \rangle + \lambda^2 \sum_{p_x,p_y \ne 0} \frac{|\langle p_x,p_y |\hat W |0,0\rangle|^2}{E_0^0-(p_x+p_y+1)\hbar w} \\ & = \hbar w+0+\frac{(\frac{\lambda}{2}\hbar w)^2}{-2 \hbar w} = \hbar w\left(1-\frac{\lambda^2}{8}\right)\end{aligned} \\ \begin{aligned} |\psi_0 \rangle = |0,0\rangle-\frac{\lambda}{4}|1,1\rangle \Rightarrow_{Normalization} \frac{ |0,0\rangle-\frac{\lambda}{4}|1,1\rangle}{\sqrt{1+\frac{\lambda^2}{16}}} \end{aligned}$

然后計算第一激發態，第一激發態有兩種量子態，分別表示 $X$ 激發與 $Y$ 激發，所以對應兩種能量本征值， $E_{1,1}, E_{1,2}$ ，它們等于 $E_1^0$ 加上 $W^{(1)}$ 的本征值，其中 $W=λ?w/2[0110]W=\lambda \hbar w/2 \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix} \right]$ ，本征值為 $±λ?w2\pm \frac{\lambda \hbar w}{2}$ ，本征態為 $∣1,0?±∣0,1?2\frac{|1,0 \rangle \pm |0,1 \rangle}{\sqrt{2}}$ ，所以
$E1,1=2?w?12λ?w,∣ψ1,1?=∣1,0??∣0,1?2E1,2=2?w+12λ?w,∣ψ1,2?=∣1,0?+∣0,1?2E_{1,1}=2\hbar w-\frac{1}{2}\lambda \hbar w,|\psi_{1,1} \rangle=\frac{|1,0 \rangle - |0,1 \rangle}{\sqrt{2}} \\ E_{1,2}=2\hbar w+\frac{1}{2}\lambda \hbar w,|\psi_{1,2} \rangle=\frac{|1,0 \rangle+ |0,1 \rangle}{\sqrt{2}}$

接下來是第二激發態，操作方法與計算第一激發態類似。

Degenerate Stationary Perturbation Theory總結

第一步：在確定了問題的Hamiltonian與perturbation后，在能量表象
${∣0,0?,∣1,0?,∣0,1?,∣2,0?,∣1,1?,∣0,2?,?}={∣?0?,∣?11?,∣?12?,∣?21?,∣?22?,∣?23?,?}\{|0,0\rangle,|1,0 \rangle,|0,1\rangle,|2,0 \rangle,|1,1 \rangle,|0,2 \rangle,\cdots\} \\ = \{|\phi_0 \rangle,|\phi_1^1 \rangle,|\phi_1^2 \rangle,|\phi_2^1 \rangle,|\phi_2^2 \rangle,|\phi_2^3 \rangle,\cdots\}$

下寫出Hamiltonian與perturbation的矩陣表示，并找出分塊的模式 $H_0^{(n)}$ 與 $W^{(n)}$ ；

第二步：用Stationary Perturbation Theory近似基態及其本征值，
$E0=E00+λ?0,0∣W^∣0,0?+λ2∑px,py≠0∣?px,py∣W^∣0,0?∣2E00?Ep0∣ψ0?=∣0,0??λ∑px,py≠0?px,py∣W^∣0,0?E00?Ep0∣px,py?E_0 = E_0^0+\lambda \langle 0,0|\hat W |0,0 \rangle + \lambda^2 \sum_{p_x,p_y \ne 0} \frac{|\langle p_x,p_y |\hat W |0,0\rangle|^2}{E_0^0-E_p^0} \\ |\psi_0 \rangle = |0,0 \rangle-\lambda \sum_{p_x,p_y \ne 0}\frac{\langle p_x,p_y|\hat W|0,0 \rangle}{E_0^0-E_p^0}|p_x,p_y\rangle$

第三步：計算 $W^{(n)}$ 的本征值與本征態，
$W(n)∣vn,j?=?n,j∣vn,j?W^{(n)}|v_{n,j} \rangle = \epsilon_{n,j}|v_{n,j} \rangle$

用下面的公式做近似 $En,j≈En0+?n,j∣ψn,j?=∣vn,j?E_{n,j} \approx E_n^0+\epsilon_{n,j} \\ |\psi_{n,j} \rangle = |v_{n,j} \rangle$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI570 量子力学30 Degenerate Stationary Perturbation Theory简介的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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