UA OPTI512R 傅立葉光學導論24 相干傳遞函數

• • Aberrated PSF
  • 相干傳遞函數

上一講介紹了透鏡成像的物理光學公式：
$$u_i=u_g?\tilde{h}$$

其中$u_g$是物體的ideal geometric image（簡單來說就是根據幾何光學得到的像）$$u_g(x_i,y_i)=\frac{1}{M}{u}_o(x_i/M,y_i/M)$$ $\tilde{h}$是point spread function，它們的卷積就是物體的像，所以這個簡單成像系統（物體作為輸入，像作為輸出，物體+透鏡+像構成這個系統）是一個Linear Shift-invariant System。這個公式是space-time domain中的透鏡成像公式，這一講我們討論這個公式在頻域中的性質。

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Aberrated PSF

考慮上圖所示的成像系統，$u_o(x_o,y_o)$表示光源，$u_i(x_i,y_i)$表示光源經過透鏡后所成的像，透鏡部分包括透鏡前的entrace pupil與透鏡后的exit pupil，它們的作用類似相機的光圈或者人的瞳孔，透鏡系統可以是一個透鏡，也可以是不同透鏡的組合。如果透鏡系統都是理想透鏡，那么光在傳播過程中不會出現aberration，也就是如果$u_o$是點光源，那么在object plane到entrace pupil之間以球面波的形式傳播，在exit pupil與image plane之間光束會收斂，最后得到的像也是一個點。如果不是理想透鏡，那么就會存在衍射。

上圖展示了非理想情況下的波形，黑實線代表理想情況下的球形波的波形，紅虛線代表此時的真實波形，前者減去后者可以得到真實波形與理想球面波的偏離程度$W(x,y;x_o,y_o)$，由此可以計算OPD error為$e^{?j2\pi \frac{W}{\lambda }}$，此時aberrated pupil可以用實際的pupil與OPD error的乘積得到
$$P_{abb}(x,y)=P(x,y)e^{?j2\pi \frac{W}{\lambda }}$$

也就是aberrated pupil相當于在pupil的基礎上增加了由abberation導致的相位變化。上一講我們介紹了PSF函數：
$$\tilde{h}(x_i,y_i)=?P(\lambda d_i\tilde{x},\lambda d_i\tilde{y})e^{?j2\pi (x_i\tilde{x}+y_i\tilde{y})}d\tilde{x}d\tilde{y}$$

他是pupil function（也叫aperture function）的scaled Fourier變換。如果不存在aberration，上式中的$P$就代表真實的pupil；如果存在aberration，就需要用aberrated pupil function $P_{abb}$。

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相干傳遞函數

記$U_g(\xi ,\eta )=\mathcal{F}[u_g(x_i,y_i)],U_i(\xi ,\eta )=\mathcal{F}[u_i(x_i,y_i)],H(\xi ,\eta )=\mathcal{F}[\tilde{h}(x_i,y_i)]$，$U_g$表示物體幾何光學像的頻譜（Input Object Spectra），$U_i$表示物體的像的頻譜（output image spectra），$H$被稱為相干傳遞函數（coherent transfer function, CTF）。根據卷積定理，
$$U_i(\xi ,\eta )=U_g(\xi ,\eta )H(\xi ,\eta )$$

例：CTF的作用
我們用一個簡單的例子說明CTF的作用原理，假設光源為
$$u_o(x_o,y_o)=A\cos (2\pi {\xi }_0{x}_o)$$

透鏡系統放大系數為$M=1$，因此光源的幾何光學像的頻譜為
$$\begin{array}{rl}{U}_g& =\mathcal{F}[u_o(x_o,y_o)]\\ & =\mathcal{F}[A\cos (2\pi {\xi }_{0}x)\cos (2\pi ?0?y)]\\ & =\frac{A}{2}[\delta (\xi ?{\xi }_0,\eta )+\delta (\xi +{\xi }_0,\eta )]\end{array}$$

根據CTF的定義以及Dirac函數的性質，
$$\begin{array}{rl}{U}_i(\xi ,\eta )& =\frac{A}{2}[\delta (\xi ?{\xi }_0,\eta )+\delta (\xi +{\xi }_0,\eta )]H(\xi ,\eta )\\ & =\frac{A}{2}[\delta (\xi ?{\xi }_0,\eta )+\delta (\xi +{\xi }_0,\eta )]\underset{常數}{H({\xi }_0,0)}\end{array}$$

對這個頻譜做Fourier逆變換可得光源的像為
$$u_i(x_i,y_i)=AH({\xi }_0,0)\cos (2\pi {\xi }_0{x}_i)$$

可以發現像與光源的形狀一樣，只是幅度上變成了$AH({\xi }_0,0)$。在passive image system（即光經過這個系統能量不會增加）中，
$$0\le |H({\xi }_0,0)|\le 1$$

所以經過系統后，光的能量被吸收（光強減少）的比例為$1?|H({\xi }_0,0){|}^2$。

CTF與pupil的關系
$$\begin{array}{rl}H(\xi ,\eta )& =\mathcal{F}[\tilde{h}(x_i,y_i)]\\ & =\mathcal{F}[\mathcal{F}[P(\lambda d_{i}x,\lambda d_{i}y)]]\\ & =P(?\lambda d_i\xi ,?\lambda d_i\eta )\end{array}$$

所以CTF就是scaled exit pupil function。因為在實驗室以及在工程中，pupil都是受到尺寸限制，這就注定了CTF一定是一個低通濾波器。

例：矩形pupil

$$\begin{gathered} P(x,y)=rect(x/L_x,y/L_y) \\ H(\xi ,\eta )=rect(\lambda d_i\xi /L_x,\lambda d_i\eta /L_y) \end{gathered}$$

所以horizontal low-pass cut-off frequency為
$${\xi }_c=\frac{L_x}{2\lambda d_i}$$

verticle low-pass cut-off frequency為
$${\eta }_c=\frac{L_y}{2\lambda d_i}$$

PSF為
$$\tilde{h}(x_i,y_i)=\frac{L_x{L}_y}{{\lambda }^2{d}_i^2}sinc(\frac{L_x{x}_i}{\lambda d_i},\frac{L_y{y}_i}{\lambda d_i})$$

例：圓形pupil
$$\begin{gathered} P(x,y)=circ(r/W)=\{\begin{array}{l}1,r=\sqrt{x^2+y^2}\le W/2\\ 0,r=\sqrt{x^2+y^2}>W/2\end{array} \\ H(\xi ,\eta )=circ(\frac{\lambda d_i\rho }{W}),\rho =\sqrt{{\xi }^2+{\eta }^2} \end{gathered}$$

所以radial low-pass cut-off frequency為
$${\rho }_c=\frac{W}{2\lambda d_i}$$

PSF為
$$\tilde{h}(x_i,y_i)=\frac{W^2}{{\lambda }^2{d}_i^2}somb(\frac{W{r}_i}{\lambda d_i})$$

其中somb表示Sombrero函數，
$$somb(r)=\frac{2J_1(\pi r)}{\pi r},r=\sqrt{x^2+y^2}$$

$J_1$是1階第一類Bessel函數。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI512R 傅立叶光学导论24 相干传递函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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