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矩阵正态分布基础1 外形式、外积与微分形式简介

發布時間：2025/4/14 编程问答 18 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了矩阵正态分布基础1 外形式、外积与微分形式简介小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

矩陣正態分布基礎1 外形式、外積與微分形式簡介

- 外形式
- 外積
- k-微分形式

因為不是討論微分流形的，所以只是給一些定義方便后續要用的時候查閱；要系統性學習還請參考微分流形的教材。

外形式

定義1.1（1-形式） 稱線性函數 $w:Rn→Rw:\mathbb R^n \to \mathbb R$ 為1-形式，即 $w(λ1α+λ2β)=λ1w(α)+λ2w(β),?α,β∈Rn,?λ1,λ2∈Rw(\lambda_1 \alpha+\lambda_2 \beta)=\lambda_1 w(\alpha)+\lambda_2 w(\beta),\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R}^n,\forall \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb R$

定義1-形式的加法和數乘為
$(w1+w2)(α)=w1(α)+w2(α)(λw)(α)=λw(α)(w_1+w_2)(\alpha)=w_1(\alpha)+w_2(\alpha) \\ (\lambda w)(\alpha)=\lambda w(\alpha)$

在這兩個運算下， $Rn\mathbb{R}^n$ 上的所有1-形式組成的集合是一個線性空間，記為 $(Rn)?(\mathbb{R}^n)^*$ ，它是 $Rn\mathbb{R}^n$ 的對偶空間。假設 $w_1,w_2$ 是兩個1-形式，則它們的外積 $w1∧w2w_1 \wedge w_2$ 是一個2-形式，其中兩個1-形式的外積定義為
$w1∧w2(α,β)=∣w1(α)w1(β)w2(α)w2(β)∣w_1\wedge w_2(\alpha,\beta) = \left| \begin{matrix} w_1(\alpha) & w_1(\beta) \\ w_2(\alpha) & w_2(\beta) \end{matrix}\right|$

定義1.2（2-形式） 稱雙線性反對稱函數 $w2:Rn×Rn→Rw^2:\mathbb R^n \times \mathbb R^n \to \mathbb R$ 為2-形式，即 $?α,β,γ∈Rn,?λ1,λ2∈R\forall \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb R^n,\forall \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb R$ ，

w2(λ1α+λ2β,γ)=λ1w2(α,γ)+λ2w2(β,γ)w^2(\lambda_1 \alpha+\lambda_2 \beta,\gamma)=\lambda_1w^2(\alpha,\gamma)+\lambda_2w^2(\beta,\gamma)

w2(α,β)=?w2(β,α)w^2(\alpha,\beta)=-w^2(\beta,\alpha)

假設一個 $n$ 維線性空間的基為 ${x1,?,xn}\{x_1,\cdots,x_n\}$ ，則這個空間中的任意2-形式可以表示為
$w2=∑i<jaijxi∧xjw^2=\sum_{i<j}a_{ij}x_i\wedge x_j$ 假設 $w1,?,wkw_1,\cdots,w_k$ 是 $k$ 個1-形式，則它們的外積 $w1∧?∧wkw_1 \wedge \cdots \wedge w_k$ 是一個k-形式，其中 $k$ 個1-形式的外積定義為
$w1∧?∧wk(α1,?,αk)=∣w1(α1)?w1(αk)???wk(α1)?wk(αk)∣w_1 \wedge \cdots \wedge w_k(\alpha_1,\cdots,\alpha_k)= \left| \begin{matrix} w_1(\alpha_1) & \cdots & w_1(\alpha_k) \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ w_k(\alpha_1) & \cdots & w_k(\alpha_k) \end{matrix}\right|$

定義1.3（k-形式） 稱k-線性反對稱函數 $w:Rn×?×Rn?k個→Rw:\underbrace{\mathbb R^n \times \cdots \times \mathbb R^n}_{k個} \to \mathbb R$ 為k-形式，即

w(λ1α1′+λ2α1′′,α2,?,αk)=λ1w(α1′,α2,?,αk)+λ2w(α′′,α2,?,αk)w(\lambda_1\alpha_1'+\lambda_2\alpha_1'',\alpha_2,\cdots,\alpha_k)=\lambda_1w(\alpha_1',\alpha_2,\cdots,\alpha_k)+\lambda_2w(\alpha'',\alpha_2,\cdots,\alpha_k)

w(ασ(1),?,ασ(k))=sgn(σ)w(α1,?,wk),?σ∈Pkw(\alpha_{\sigma(1)},\cdots,\alpha_{\sigma(k)})=sgn(\sigma)w(\alpha_1,\cdots,w_k),\forall \sigma \in P_k

其中 $σ\sigma$ 是一個 $k$ 階置換運算， $sgn(σ)=1sgn(\sigma)=1$ 表示將 $σ(1),?,σ(k)\sigma(1),\cdots,\sigma(k)$ 恢復為 $1,?,k1,\cdots,k$ 需要做偶數次置換操作； $sgn(σ)=?1sgn(\sigma)=-1$ 表示將 $σ(1),?,σ(k)\sigma(1),\cdots,\sigma(k)$ 恢復為 $1,?,k1,\cdots,k$ 需要做奇數次置換操作。

$Rn\mathbb R^n$ 上所有k-形式組成的集合是一個線性空間，維數為 $C_n^k$ 。假設一個 $n$ 維線性空間的基為 ${x1,?,xn}\{x_1,\cdots,x_n\}$ ，稱 $xi1∧?∧xikx_{i_1} \wedge \cdots \wedge x_{}i_k$ 為基本k-形式，基本k-形式的數量為 $C_n^k$ 。

外積

定義1.4（外積） k-形式 $w^k$ 與b-形式 $w^b$ 的外積為 $wk∧wbw^k \wedge w^b$ 是一個 $(k + b)$ -形式，滿足

反對稱性：

wk∧wl=(?1)klwl∧wkw^k \wedge w^l=(-1)^{kl}w^l \wedge w^k

分配律：

(λ1w1k+λ2w2k)∧wl=λ1w1k∧wl+λ2w2k∧wl(\lambda_1 w^k_1+\lambda_2 w^k_2) \wedge w^l = \lambda_1 w_1^k \wedge w^l+ \lambda_2w_2^k \wedge w^l

結合律：

(wk∧wl)∧wm=wk∧(wl∧wm)(w^k \wedge w^l)\wedge w^m=w^k \wedge (w^l \wedge w^m)

并且
$wk∧wl(α1,?,αk,β1,?,βl)=∑σ,τ(?1)sgn(σ)sgn(τ)wk(ασ(1),?,ασ(k))wl(βτ(1),?,βτ(l))w^k \wedge w^l (\alpha_1,\cdots,\alpha_k,\beta_1,\cdots,\beta_l) \\ = \sum_{\sigma,\tau} (-1)^{sgn(\sigma)sgn(\tau)}w^k(\alpha_{\sigma(1)},\cdots,\alpha_{\sigma(k)})w^l(\beta_{\tau(1),\cdots,\beta_{\tau(l)}})$

k-微分形式

定義1.5（k-微分形式） 流形 $M$ 上點 $x$ 處的k-微分形式 $w^k|_x$ 就是在切空間 $TM_{x}$ 上的k-形式；如果 $M=RnM=\mathbb R^n$ ，用 $dx1,?,dxndx_1,\cdots,dx_n$ 表示 $TRxnT\mathbb R^n_x$ 上的1-形式基，則 $TRxnT\mathbb R^n_x$ 中的任意k-形式都可以唯一表示為
$wk=∑σaσ(1),?,σ(k)dxσ(1)∧?∧dxσ(k)w^k=\sum_{\sigma}a_{\sigma(1),\cdots,\sigma(k)}dx_{\sigma(1)}\wedge \cdots \wedge dx_{\sigma(k)}$

其中 $aσ(1),?,σ(k)∈C∞(Rn)a_{\sigma(1),\cdots,\sigma(k)} \in C^{\infty}(\mathbb R^n)$ 。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵正态分布基础1 外形式、外积与微分形式简介的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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