UA OPTI544 量子光學8 2-level system approximation的population rate equation模型

• • Density Matrix的穩態（假設無非彈性碰撞）
  • • Elastic Collision Broadening
  • 光子通量
  • • Rate Equation的解（假設無非彈性碰撞）
    • Power Broadening
    • $\sigma (\Delta )$的表達式（假設無碰撞）

在上一講的結尾，我們得到了光與粒子交互系統的2-level system approximation的density matrix的演化方程：

$$?\begin{array}{l}{\dot{\rho }}_{11}=?{\Gamma }_1{\rho }_{11}+A_{21}{\rho }_{22}?\frac{i}{2}(\chi {\rho }_{12}?{\chi }^{?}{\rho }_{21})\\ {\dot{\rho }}_{22}=?{\Gamma }_2{\rho }_{22}?A_{21}{\rho }_{22}+\frac{i}{2}(\chi {\rho }_{12}?{\chi }^{?}{\rho }_{21})\\ {\dot{\rho }}_{12}=(i\Delta ?\beta ){\rho }_{12}+\frac{i{\chi }^{?}}{2}({\rho }_{22}?{\rho }_{11})={\dot{\rho }}_{21}^{?}\\ \beta =\frac{1}{\tau }+\frac{{\Gamma }_1+{\Gamma }_2}{2}+\frac{A_{21}}{2}\end{array}$$

${\rho }_{11},{\rho }_{22}$代表population，${\rho }_{12},{\rho }_{21}$代表coherence，這個方程雖然具有一般性，但要解這個方程十分困難。因此這一講我們在不解演化方程的情況下，用它來推導光與粒子交互系統的2-level system approximation的一些性質。

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Density Matrix的穩態（假設無非彈性碰撞）

假設${\Gamma }_1={\Gamma }_2=0$，穩態說明population與coherence都沒有變化，即其導數為0，所以
$${\dot{\rho }}_{12}=0?\{\begin{array}{l}{\rho }_{12}=\frac{i{\chi }^{?}/2}{\beta ?i\Delta }({\rho }_{22}?{\rho }_{11})\\ {\rho }_{21}=\frac{?i\chi /2}{\beta +i\Delta }({\rho }_{22}?{\rho }_{11})\end{array}$$

代入到population中，
$$\{\begin{array}{l}{\dot{\rho }}_{11}=A_{21}{\rho }_{22}?\frac{i}{2}(\chi {\rho }_{12}?{\chi }^{?}{\rho }_{21})=A_{21}{\rho }_{22}+\frac{|\chi {|}^2\beta /2}{{\Delta }^2+{\beta }^2}({\rho }_{22}?{\rho }_{11})\\ {\dot{\rho }}_{22}=?A_{21}{\rho }_{22}+\frac{i}{2}(\chi {\rho }_{12}?{\chi }^{?}{\rho }_{21})=?A_{21}{\rho }_{22}?\frac{|\chi {|}^2\beta /2}{{\Delta }^2+{\beta }^2}({\rho }_{22}?{\rho }_{11})\end{array}$$

這兩個方程被稱為population rate equation，就物理意義而言，這個方程組描述的是激發過程，
$|2?$代表高能態，$|1?$代表低能態，$A_{21}{\rho }_{22}$代表從高能態向低能態的自發衰變，${\Gamma }_1{\rho }_{11},{\Gamma }_2{\rho }_{22}$代表兩個量子態的population的非彈性碰撞衰變，$R_{12}{\rho }_{11}$代表由低能態向高能態的激發，$R_{12}{\rho }_{22}$代表由高能態向低能態的釋放，$R_{12}$代表兩個能態之間的激發率（absorption rate或者stimulated emission rate），
$$R_{12}=\frac{|\chi {|}^2\beta /2}{{\Delta }^2+{\beta }^2}$$

Elastic Collision Broadening

在高溫且稠密的氣體介質中，彈性碰撞在粒子的非哈密頓行為（彈性碰撞、非彈性碰撞、自發衰變）中占主體，即$\beta >>A_{21},{\Gamma }_1,{\Gamma }_2$，在這種情況下，coherence會比population更先到達穩態，這種情況被稱為Elastic Collision Broadening，此時population ${\rho }_{11},{\rho }_{22}$的行為可以用Rabi Oscillation類比。

在這種情況下，如果碰撞次數足夠多，且dipole moment方向相對driving field隨機分布時，$?|p_{12}?\widehat{?}{E}_0/h{|}^2{?}_{\text{angle}}=\frac{1}{3}|p_{12}{|}^2{E}_0^2=\frac{1}{3}|\chi {|}^2$，
$$R_{12}=\frac{1}{3}\frac{|\chi {|}^2\beta /2}{{\Delta }^2+{\beta }^2}$$

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光子通量

記$R_{12}=\sigma (\Delta )?$，其中$?$是光子通量(photon flux)，滿足
$$?w?=\underset{光強\text{intensity}}{\frac{1}{2}c{?}_0|E_0{|}^2}$$

由此可以將population rate equation用光子通量表示，
$$\{\begin{array}{l}{\dot{\rho }}_{11}=?{\Gamma }_1{\rho }_{11}+A_{21}{\rho }_{22}+\sigma (\Delta )?({\rho }_{22}?{\rho }_{11})\\ {\dot{\rho }}_{22}=?{\Gamma }_2{\rho }_{22}?A_{21}{\rho }_{22}?\sigma (\Delta )?({\rho }_{22}?{\rho }_{11})\end{array}$$

如果有$N$個粒子，則

• Number of Absorption Events為$N\sigma (\Delta )?{\rho }_{11}$
• Number of Stimulated Emission Events為$N\sigma (\Delta )?{\rho }_{22}$

Rate Equation的解（假設無非彈性碰撞）

假設${\Gamma }_1={\Gamma }_2=0$，并且根據${\rho }_{11}+{\rho }_{22}=1$，
$$\begin{array}{rl}{\dot{\rho }}_{22}& =?A_{21}{\rho }_{22}?\sigma (\Delta )?(2{\rho }_{22}?1)\\ & =\sigma (\Delta )?\underset{\text{damping?effect}}{?(A_{21}+2\sigma (\Delta )){\rho }_{22}}\end{array}$$

記$\gamma =A_{21}+2\sigma (\Delta )$為damping coefficient，這個方程的解為
$$\begin{gathered} {\rho }_{22}(t)=[{\rho }_{22}(0)?{\rho }_{22}(\infty )]e^{?\gamma t}+{\rho }_{22}(\infty ) \\ {\rho }_{22}(\infty )=\frac{\sigma (\Delta )?}{\gamma } \end{gathered}$$

其中${\rho }_{22}(0)$為初始值，${\rho }_{22}(\infty )$為穩態值，

Power Broadening

代入受激發射率的表達式，
$${\rho }_{22}(\infty )=\frac{\sigma (\Delta )?}{\gamma }=\frac{\frac{|\chi {|}^2\beta }{2A_{21}}}{{\Delta }^2+{\beta }^2+\frac{|\chi {|}^2\beta }{A_{21}}}$$

當$\sigma (\Delta )?>>A_{21}$時，${\rho }_{22}(\infty )\to \frac{1}{2}$，這種情況被稱為Power Broadening，此時粒子處于高能態與低能態的概率相等，系統處于飽和（saturation）狀態，此時光子通量和光強為
$${?}_{\text{sat}}=\frac{A_{21}}{2\sigma (0)},I_{\text{sat}}=?w{?}_{\text{sat}}$$

$\sigma (\Delta )$的表達式（假設無碰撞）

因為
$$\begin{gathered} R_{12}=\frac{|\chi {|}^2\beta /2}{{\Delta }^2+{\beta }^2} \\ {R}_{12}=\sigma (\Delta )?=\sigma (\Delta )\frac{\frac{1}{2}c{?}_0|E_0{|}^2}{?w} \end{gathered}$$

其中
$$|\chi {|}^2=f\frac{|p_{12}{|}^2|E_0{|}^2}{{?}^2},\frac{1}{3}\le f\le 1$$

$1/3$對應elastic collision broadening，$1$對應elastic collision free，由此
$$\sigma (\Delta )=f\frac{w|p_{12}{|}^2}{?c{?}_0\beta }\frac{{\beta }^2}{{\Delta }^2+{\beta }^2}=\sigma (0)\frac{{\beta }^2}{{\Delta }^2+{\beta }^2}$$

假設collision free（無彈性碰撞與非彈性碰撞），則
$$\sigma (0)=f\frac{2w|p_{12}{|}^2}{?c{?}_0{A}_{21}}=f\frac{4\pi }{?{?}_0\lambda }\frac{|p_{12}{|}^2}{A_{21}}$$

$A_{21}$與$|p_{12}{|}^2$的關系推導需要用到量子電動力學，所以這里先直接給結論，
$$A_{21}=\frac{|p_{12}{|}^2{w}^3}{3\pi ??c^3}$$

代入$\sigma (0)$的表達式可得，
$$\sigma (0)=f\frac{3{\lambda }^2}{2\pi }$$

綜上，
$$\sigma (\Delta )=f\frac{3{\lambda }^2}{2\pi }\frac{{\beta }^2}{{\Delta }^2+{\beta }^2}$$

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總結

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