UA MATH524 復變函數9 柯西公式與冪級數展開

• • 柯西公式及其證明
  • 冪級數展開

柯西公式及其證明

假設$f$是$D$上的全純函數，$\gamma$是$D$中的分段平滑正向封閉曲線，且$\gamma$圍成區域的內部$\Omega$是$D$的子集，則
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{w?z}dw,?z\in \Omega$$

證明 因為$z\in \Omega$，$?{\delta }_0>0$，$B(z,{\delta }_0)?\Omega$，取$\delta <{\delta }_0$，記$\bar{B}(z,\delta )=\{w:|w?z|\le \delta \}$表示closed neighbor of $z$，${\Omega }_{\delta }=\Omega ?\bar{B}(z,\delta )$（用closed neighbor是保證${\Omega }_{\delta }$為開集，去掉$z$的一個閉鄰域是因為$\frac{f(w)}{w?z}$的奇點為$z$），在${\Omega }_{\delta }$上對$g(w)=\frac{f(w)}{w?z}$應用Green定理與Cauchy定理，
$$0=i{?}_{{\Omega }_{\delta }}\left(\frac{?g}{?x}+i\frac{?g}{?y}\right)dxdy={\int }_{?{\Omega }_{\delta }}g(z)dz$$

因為$?{\Omega }_{\delta }=?\Omega ?\{w:|w?z|=\delta \}$（后者的定向為負），根據積分的可加性，
$${\int }_{?{\Omega }_{\delta }}g(z)dz={\int }_{?\Omega }g(z)dz?{\int }_{\{w:|w?z|=\delta \}}g(z)dz=0$$

其中$?\Omega =\gamma$，所以當$\delta \to 0$時，
$${\int }_{\gamma }g(z)dz={\int }_{\{w:|w?z|=\delta \}}g(z)dz\to 2\pi if(z)$$

這樣就完成了證明。但需要注意最后一個等式，它可以用下面的引理直接得出：

引理 假設$f$在$B(z_0,r)$上連續，${\gamma }_{?}=\{z:|z?z_0|=?\}$，則
$$\underset{?\to 0}{\lim }\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\gamma }_{?}}\frac{f(z)}{z?z_0}dz=f(z_0)$$

簡單證明一下這個引理。先將${\gamma }_{?}$參數化：${\gamma }_{?}(t)=z_0+?e^{it},t\in [0,2\pi ]$，代入到積分中，
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\gamma }_{?}}\frac{f(z)}{z?z_0}dz& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_0^{2\pi }\frac{f(z_0+?e^{it})}{?e^{it}}d(z_0+?e^{it})\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(z_0+?e^{it})dt\end{array}$$

因為$f$的連續性，
$$\begin{array}{rl}\left|\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(z_0+?e^{it})dt?f(z_0)\right|& =\left|\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(z_0+?e^{it})?f(z_0)dt\right|\\ & \le \underset{t\in [0,2\pi ]}{\max }|f(z_0+?e^{it})?f(z_0)|<?\end{array}$$

這樣就說明了引理為真。

冪級數展開

下面介紹一個Cauchy公式的應用。假設$f$是$D$上的全純函數，$z_0\in D$，且$B(z_0,R)?D$，則$f$在$B(z_0,R)$中存在冪級數展開，
$$f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{a}_k(z?z_0{)}^k$$

并且
$$a_k=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{(w?z_0{)}^{k+1}}dw$$

其中$\gamma =\{w:|w?z_0|=r\}$方向為正，$r<R$。這里給了冪級數展開的一個一般性公式，事實上，如果$f$是平滑函數，那么$a_k$可以用Taylor級數的系數表達式$$a_k=\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}$$

且這個結果與$a_k=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{(w?z_0{)}^{k+1}}dw$相同；但如果$f$不是平滑函數，就只能用$a_k=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{(w?z_0{)}^{k+1}}dw$這個公式計算冪級數展開的系數了。

下面給出復變函數冪級數的不嚴謹推導（只是提供一個大致的思路，完整證明可以參考Stephen Fisher的復變函數第二版的123-125頁）：取$r<R$，在$B(z_0,r)$上，根據Cauchy公式，
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{w?z}dw$$

其中$\gamma$為正向的圓$\{w:|w?z_0|=r\}$，因為$w$在圓上，$z$在圓內，所以$|z?z_0|<r$，并且$\frac{|z?z_0|}{|w?z_0|}<1$，由此用冪級數展開
$$\frac{1}{w?z}=\frac{1}{(w?z_0)?(z?z_0)}=\frac{1}{w?z_0}\frac{1}{1?\frac{z?z_0}{w?w_0}}=\frac{1}{w?z_0}\sum _{n=0}^{+\infty }{\left(\frac{z?z_0}{w?z_0}\right)}^n$$

代入到Cauchy公式中，
$$\begin{array}{rl}f(z)& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{w?z_0}\sum _{n=0}^{+\infty }{\left(\frac{z?z_0}{w?z_0}\right)}^{n}dw\\ & =\sum _{n=0}^{+\infty }(z?z_0{)}^n\underset{a_n}{\left(\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{(w?z_0{)}^{n+1}}dw\right)}\end{array}$$

總結

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