UA OPTI544 量子光學13 場的量子化描述

• • 簡諧運動的經典力學與量子力學模型
  • • 經典力學
    • 量子力學
  • 一維標量場的量子化

在量子光學開篇就提到過，對光學的理解大致分為三個層次，

• Classical Description：經典電動力學描述光、經典力學描述介質粒子
• Semi-classical Description：經典電動力學描述光、量子力學描述介質粒子
• Quantum Description：量子電動力學描述光、量子力學描述介質粒子

Classical和Semi-classical Description我們已經討論過了，這一講開始討論quantum description。為此，首先要回答的問題就是如何將場量子化。

我們從簡諧振動的經典力學模型出發，將其與量子諧振子進行對比，以此為基礎，我們嘗試推導一維振動產生的簡單標量場的量子力學模型。

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簡諧運動的經典力學與量子力學模型

經典力學

在光滑的地面上放著一個彈性系數為$k$的一端固定的彈簧連接的質量為$m$的質點，用$q$表示質點沿彈簧拉長方向的位移，$w=\sqrt{k/m}$代表這個系統的固有振動頻率，則這個系統的動能與勢能分別為
$$T=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2,V=\frac{1}{2}k{q}^2=\frac{1}{2}m{w}^2{q}^2$$

從牛頓力學的角度考慮，這個系統滿足能量守恒，所以動能的變化率與勢能的變化率之和必為0，即
$$\dot{T}+\dot{V}=0?\ddot{q}+w^{2}q=0$$

這就是系統的運動方程，它的解為$q=q_0{e}^{?iwt}$，既然系統滿足能量守恒，那么定義總能量為$E_0$，它一定是一個常數，并且滿足
$$E_0=|T+V|?q_0=\sqrt{\frac{2E_0}{m{w}^2}}?p_0=mw{q}_0=\sqrt{2m{E}_0}$$

下面介紹經典力學中建立系統運動方程的兩種通用方法：

拉格朗日力學
系統的Lagrangian為
$$L=T?V=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2?\frac{1}{2}m{w}^2{q}^2$$

根據Lagrange方程$\frac{?}{?t}\frac{?L}{?\dot{q}}?\frac{?L}{?q}=0$（$\frac{?L}{?\dot{q}}$是由廣義速度$\dot{q}$定義的共軛動量，$\frac{?L}{?\dot{q}}=p=m\dot{q}$）可得系統的運動方程為
$$\ddot{q}+w^{2}q=0$$

哈密頓力學
系統的Hamiltonian為
$$H=T(\dot{q}=p/m)+V(q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{w}^2{q}^2$$

根據哈密頓方程，
$$\{\begin{array}{l}\dot{q}=\frac{?H}{?p}=p/m\\ \dot{p}=?\frac{?H}{?q}=?m{w}^{2}q\end{array}$$

聯立這兩個方程，消去動量$p$可得系統的運動方程為
$$\ddot{q}+w^{2}q=0$$

由此可以印證，牛頓力學、拉格朗日力學、哈密頓力學在最簡單的一維彈簧振子的建模上可以得到一致的結果。另外，在哈密頓力學所定義的相空間$(q/q_0,p/p_0)$中，系統的相位按順時針方向以角頻率$w$做圓周運動。

量子力學

在570的17-20講中我們討論了量子諧振子(Q.H.O.)模型，這里簡單回顧一下我們建模的思路。從上述彈簧振子的哈密頓力學模型出發，因為最重要的兩個描述系統狀態的變量是動量$p$與位移$q$，所以要建立量子力學模型，我們需要用厄爾米特算符表示這兩個物理量，記為$\hat{p}$與$\hat{q}$，根據我們在量子力學中已經有的結論，這兩個算符的對易滿足
$$[\hat{q},\hat{p}]=i?$$

定義$E_0=?w,q_0=\sqrt{\frac{2?}{mw}},p_0=\sqrt{2m?w}$（$?w$是量子力學的natural scale，$q_0,p_0$根據經典力學中能量與位移的幅度、動量的幅度的關系寫出），記$Q=\hat{q}/q_0,P=\hat{p}/p_0$，則系統的狀態可以用annihilation operator $a=Q+iP$表示。定義Number Operator $N=a^{?}a$，則系統的哈密頓算符為
$$H=?w(Q^2+P^2)=?w(N+\frac{1}{2})$$ 上述算符的特征方程為（具體推導參考UA OPTI570 量子力學17 創生算符與湮滅算符與UA OPTI570 量子力學18 量子諧振子基礎）
$$\begin{gathered} a|n?=\sqrt{n}|n?1? \\ {a}^{?}|n?=\sqrt{n+1}|n+1? \\ N|n?=n|n? \\ H|n?=?w(n+\frac{1}{2})|n? \end{gathered}$$

并且任意激發態$|n?$都可以用基態$|0?$與creation operator $a^{?}$表示：
$$|n?=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{?}{)}^n|0?$$

一維標量場的量子化

考慮一維縱波的位移標量場$\eta (x,t)$（這里的$x$的含義變成了一維空間的坐標），假設質量的線密度為$\mu$，楊氏模量為$\gamma$，則標量場的動能與勢能的線密度為
$$\frac{dT}{dx}=\frac{1}{2}\mu {\eta }_t^2,\frac{dV}{dx}=\frac{1}{2}\gamma {\eta }_x^2$$

其中${\eta }_t=\frac{?\eta }{?t},{\eta }_x=\frac{?\eta }{?x}$。

我們可以將這樣的標量場用串聯的彈簧振子近似。考慮$N$個前文中敘述的彈簧振子，假設彈簧原長為$a$，第$j$個彈簧振子的位移為$x_j$，并且當$N\to \infty$時，有$m/a\to \mu ,ka\to \gamma ,\{x_j\}\to \eta (x)$，則
$$T\approx \sum _{j=1}^N\frac{1}{2}m{\dot{x}}_j^2,V\approx \sum _{j=1}^{N?1}\frac{1}{2}k(x_{j+1}?x_j{)}^2$$

在有了動能與勢能的表達式后，我們可以用前文提到的牛頓力學、拉格朗日力學、哈密頓力學方法得到場的運動方程：$${\eta }_{tt}?{\nu }^2{\eta }_{xx}=0$$

其中${\eta }_{tt}$表示$\eta$對時間的二階偏導，${\eta }_{xx}$表示$\eta$對空間坐標的二階偏導，$\nu =\frac{\gamma }{\mu }$。因為這個運動方程與${\eta }_{xt}$無關，所以我們可以嘗試用分離變量法推導這個二階PDE的特殊解。假設$\eta (x,t)=g(t)u(x)=g_0{e}^{iwt}u(x)$，代入到運動方程中，
$$\begin{gathered} {\eta }_{tt}?{\nu }^2{\eta }_{xx}=?w^{2}g(t)u(x)?{\nu }^{2}g(t)u^{\prime \prime }(x)=0 \\ {u}^{\prime \prime }(x)+K^{2}u(x)=0,K=w/\nu \end{gathered}$$

假設這個場只存在于$[0,l]$內，則$u$的通解為
$$u_K(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\sin (Kx)$$

這個形式的波被稱為normal mode，其中$Kl$必須是$\pi$的整數倍。記$q_K(t)=e^{i{w}_{K}t}$，則$\eta (x,t)$的解可以表示為
$$\eta (x,t)=\sqrt{l}\sum _K{q}_K(t)u_K(x)$$

這個公式被稱為場的normal mode decomposition。定義$M=\mu l$，將normal mode decomposition代入動能與勢能的表達式中可得
$$T=\sum _K\frac{1}{2}M{\dot{q}}_K^2,V=\sum _K\frac{1}{2}M{w}_K^2{q}_K^2$$

定義$L_K=\frac{1}{2}M{\dot{q}}_K^2?\frac{1}{2}M{w}_K^2{q}_K^2$，系統的Lagrangian為
$$L=\sum _K{L}_K=\sum _K\frac{1}{2}M{\dot{q}}_K^2?\sum _K\frac{1}{2}M{w}_K^2{q}_K^2$$

動量為$p_K=M{\dot{q}}_K$。系統的Hamiltonian為
$$H=\sum _K\left(\frac{1}{2}M{\dot{q}}_K^2+\frac{1}{2}M{w}_K^2{q}_K^2\right)=\sum _K{H}_K$$

因此場的哈密頓量可以分解為一系列量子諧振子的哈密頓量之和，每一個量子諧振子代表一個normal mode。根據這些推導，我們只需要把代表每個normal mode的諧振子量子化再加總就能得到場的量子化的相關結論了。哈密頓量算符、位移算符、動量算符為
$$\begin{gathered} H=\sum _K?w_K(a_K^{?}{a}_K+\frac{1}{2}) \\ \eta =\sum _K\sqrt{l{q}_{o,K}^2}(a_K{u}_K(x)+a_K^{?}{u}_k^{?}(x)) \\ \Pi =?i\sum _K\sqrt{\frac{p_{0,K}^2}{L}}(a_K{u}_K(x)?a_K^{?}{u}_k^{?}(x)) \end{gathered}$$

其中$a_K,a_K^{?},p_K,q_K$只作用在第$K$個mode上，并且
$$[\eta (x),\Pi (x^{\prime })]=i?\delta (x?x^{\prime })$$

另外，加總后的量子態空間就是所有這些諧振子的態空間的張量積。

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總結

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