題目鏈接：http://poj.org/problem?id=3241

　　題意：平面上有n個點集，現在把他們分成k個集合，使得每個集合中的每個點都至少有一個本集合的點之間的曼哈頓距離不大于X，求最小的X。

　　題目要求劃分集合之后，每個集合的曼哈頓最小生成樹的最長邊不超過X，那么容易想到就是整個點集的曼哈頓最小生成樹的第n-k條邊。。

　　那么主要就是求曼哈頓最小生樹的問題了，有O(logn)的算法可以輕松解決建圖的問題，主要是利用到了環切的性質，考慮到很多邊其實都是沒有用的：對于某個點，以他為中心的區域分為8個象限，對于每一個象限，只會取距離最近的一個點連邊。。

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　　如果這樣建立邊的話需要建立8次，但是考慮到對稱性，實際上我們只要建立4次就夠了，R1,R2,R3,R4。再來看看R1和R2區域點集需要滿足的條件，

　　　　　　R1：1. x≥x_{k ? ??}2.y-x>y_k-x_{k ? ? ? ? ? ?}R2：1.x≥x_{k ? ? ?}2.y-x<y_k-x_k

　　這里只是一個>和<小于的區別，因此我們完全只需要兩次就夠了。。。

　　還可以用坐標變化來求，R1：y-x>y_k-x_{k ? ?}R2：y-x<y_k-x_{k ? ?}R3：y+x>y_k+x_{k? ?}R4：y+x<y_k+x_k

　　R1->R2：關于y=x對稱，swap(x,y)

　　R2->R3：考慮到代碼的方便性，我們考慮R2->R7，x=-x。

　　R7->R4：因為上面求的是R2->R7，因此這里還是關于y=x對稱。。

　　然后用個BIT維護就可以了，不要問我BIT是什么Binary Indexed Trees。。

1 //STATUS:C++_AC_79MS_884KB 2 #include <functional> 3 #include <algorithm> 4 #include <iostream> 5 //#include <ext/rope> 6 #include <fstream> 7 #include <sstream> 8 #include <iomanip> 9 #include <numeric> 10 #include <cstring> 11 #include <cassert> 12 #include <cstdio> 13 #include <string> 14 #include <vector> 15 #include <bitset> 16 #include <queue> 17 #include <stack> 18 #include <cmath> 19 #include <ctime> 20 #include <list> 21 #include <set> 22 #include <map> 23 using namespace std; 24 //#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000") 25 //using namespace __gnu_cxx; 26 //define 27 #define pii pair<int,int> 28 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 29 #define lson l,mid,rt<<1 30 #define rson mid+1,r,rt<<1|1 31 #define PI acos(-1.0) 32 //typedef 33 typedef __int64 LL; 34 typedef unsigned __int64 ULL; 35 //const 36 const int N=10010; 37 const int INF=0x3f3f3f3f; 38 const int MOD=100000,STA=8000010; 39 const LL LNF=1LL<<60; 40 const double EPS=1e-8; 41 const double OO=1e15; 42 const int dx[4]={-1,0,1,0}; 43 const int dy[4]={0,1,0,-1}; 44 const int day[13]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31}; 45 //Daily Use ... 46 inline int sign(double x){return (x>EPS)-(x<-EPS);} 47 template<class T> T gcd(T a,T b){return b?gcd(b,a%b):a;} 48 template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;} 49 template<class T> inline T lcm(T a,T b,T d){return a/d*b;} 50 template<class T> inline T Min(T a,T b){return a<b?a:b;} 51 template<class T> inline T Max(T a,T b){return a>b?a:b;} 52 template<class T> inline T Min(T a,T b,T c){return min(min(a, b),c);} 53 template<class T> inline T Max(T a,T b,T c){return max(max(a, b),c);} 54 template<class T> inline T Min(T a,T b,T c,T d){return min(min(a, b),min(c,d));} 55 template<class T> inline T Max(T a,T b,T c,T d){return max(max(a, b),max(c,d));} 56 // 57 58 struct Point{ 59 int x,y,id; 60 bool operator<(const Point p)const{ 61 return x!=p.x?x<p.x:y<p.y; 62 } 63 }p[N]; 64 struct BIT{ 65 int min_val,pos; 66 void init(){ 67 min_val=INF; 68 pos=-1; 69 } 70 }bit[N]; 71 struct Edge{ 72 int u,v,d; 73 bool operator<(const Edge e)const{ 74 return d<e.d; 75 } 76 }e[N<<2]; 77 int T[N],hs[N]; 78 int n,mt,pre[N]; 79 80 void adde(int u,int v,int d) 81 { 82 e[mt].u=u,e[mt].v=v; 83 e[mt++].d=d; 84 } 85 86 int find(int x) 87 { 88 return pre[x]=(x==pre[x]?x:find(pre[x])); 89 } 90 int dist(int i,int j) 91 { 92 return abs(p[i].x-p[j].x)+abs(p[i].y-p[j].y); 93 } 94 95 inline int lowbit(int x) 96 { 97 return x&(-x); 98 } 99 100 void update(int x,int val,int pos) 101 { 102 for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i)) 103 if(val<bit[i].min_val) 104 bit[i].min_val=val,bit[i].pos=pos; 105 } 106 107 int query(int x,int m) 108 { 109 int min_val=INF,pos=-1; 110 for(int i=x;i<=m;i+=lowbit(i)) 111 if(bit[i].min_val<min_val) 112 min_val=bit[i].min_val,pos=bit[i].pos; 113 return pos; 114 } 115 116 int Manhattan_minimum_spanning_tree(int n,Point *p,int K) 117 { 118 int i,w,dir,fa,fb,pos,m; 119 //Build graph 120 mt=0; 121 for(dir=0;dir<4;dir++){ 122 //Coordinate transform - reflect by y=x and reflect by x=0 123 if(dir==1||dir==3){ 124 for(i=0;i<n;i++) 125 swap(p[i].x,p[i].y); 126 } 127 else if(dir==2){ 128 for(i=0;i<n;i++){ 129 p[i].x=-p[i].x; 130 } 131 } 132 //Sort points according to x-coordinate 133 sort(p,p+n); 134 //Discretize 135 for(i=0;i<n;i++){ 136 T[i]=hs[i]=p[i].y-p[i].x; 137 } 138 sort(hs,hs+n); 139 m=unique(hs,hs+n)-hs; 140 //Initialize BIT 141 for(i=1;i<=m;i++) 142 bit[i].init(); 143 //Find points and add edges 144 for(i=n-1;i>=0;i--){ 145 pos=lower_bound(hs,hs+m,T[i])-hs+1; //BIT中從1開始' 146 w=query(pos,m); 147 if(w!=-1) 148 adde(p[i].id,p[w].id,dist(i,w)); 149 update(pos,p[i].x+p[i].y,i); 150 } 151 } 152 //Kruskal - 找到第K小的邊 153 sort(e,e+mt); 154 for(i=0;i<n;i++)pre[i]=i; 155 for(i=0;i<mt;i++){ 156 fa=find(e[i].u),fb=find(e[i].v); 157 if(fa!=fb){ 158 K--;pre[fa]=fb; 159 if(K==0)return e[i].d; 160 } 161 } 162 } 163 164 int main(){ 165 // freopen("in.txt","r",stdin); 166 int i,j,k; 167 while(~scanf("%d%d",&n,&k)) 168 { 169 for(i=0;i<n;i++){ 170 scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y); 171 p[i].id=i; 172 } 173 printf("%d\n",Manhattan_minimum_spanning_tree(n,p,n-k)); 174 } 175 return 0; 176 }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的POJ-3241 Object Clustering 曼哈顿最小生成树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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