C語言的本質(zhì)（4）——浮點(diǎn)數(shù)的本質(zhì)與運(yùn)算

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C語言規(guī)定了3種浮點(diǎn)數(shù)，float型、double型和long double型，其中float型占4個字節(jié)，double型占8個字節(jié)，longdouble型長度要大于等于double型，本文檔將以float型為例進(jìn)行介紹，double型和long double型只是比float型位數(shù)長，原理都是一樣的。

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float型可以表示的范圍是-3.402823466e38~3.402823466e38，而作為同為4個字節(jié)的定點(diǎn)數(shù)卻只能表示-2147483648~2147483647的范圍，使用同樣的內(nèi)存空間，浮點(diǎn)數(shù)卻能比定點(diǎn)數(shù)表示大得多的范圍，這是不是太神奇了？既然浮點(diǎn)數(shù)能表示這么大的范圍，那么我們?yōu)楹尾皇褂酶↑c(diǎn)數(shù)來代替定點(diǎn)數(shù)呢？

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先不說浮點(diǎn)數(shù)實(shí)現(xiàn)起來比較復(fù)雜，有些處理器還專門配置了硬件浮點(diǎn)運(yùn)算單元用于浮點(diǎn)運(yùn)算，主要原因是浮點(diǎn)數(shù)根本就無法取代定點(diǎn)數(shù)，因?yàn)榫葐栴}。魚和熊掌不可兼得，浮點(diǎn)數(shù)表示了非常大的范圍，但它失去了非常準(zhǔn)的精度。在說明精度問題前，我們先了解一下浮點(diǎn)數(shù)的格式。

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ANSI/IEEEStd 754-1985標(biāo)準(zhǔn)

IEEE 754是最廣泛使用的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)算術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，被許多CPU與浮點(diǎn)運(yùn)算器所采用。IEEE754規(guī)定了多種表示浮點(diǎn)數(shù)值的方式，在本文檔里只介紹32bits的float浮點(diǎn)類型。它被分為3個部分，分別是符號位S（sign bit）、指數(shù)偏差E（exponent bias）和小數(shù)部分F（fraction）。

其中S位占1bit，為bit31。S位為0代表浮點(diǎn)數(shù)是正數(shù)，S位為1代表浮點(diǎn)數(shù)是負(fù)數(shù)，比如說0x449A522C的S位為0，表示這是一個正數(shù)，0x849A522C的S位為1，表示這是一個負(fù)數(shù)。

E位占8bits，為bit23~bit30。E位代表2的N次方，但需要減去127，比如說E位為87，那么E位的值為2（87-127）=9.094947017729282379150390625e-13。

F位占23bits，為bit0~bit22。F位是小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)，其中bit22是2-1=0.5，bit21是2-2=0.25，以此類推，bit0為2-23=0.00000011920928955078125。但F位里隱藏了一個1，也就是說F位所表示的值是1+（F位bit22~bit0所表示的數(shù)值），比如說F位是0b10100000000000000000001，只有bit22、bit20和bit0為1，那么F位的值為1+(2-1+2-3+2-23)，為1.62500011920928955078125。

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?綜上所述，從二進(jìn)制數(shù)換算到浮點(diǎn)數(shù)的公式為：(-1)S×2E-127×(1+F)。但還有幾個特殊的情形：

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1、若E位為0并且F位也為0時表示浮點(diǎn)數(shù)0，此時浮點(diǎn)數(shù)受S位影響，表現(xiàn)出+0和-0兩種0，但數(shù)值是相等的。比如二進(jìn)制數(shù)0x00000000表示+0，二進(jìn)制數(shù)0x80000000表示-0。

2、若E位為0并且F位不為0時浮點(diǎn)數(shù)為(-1)S×2-126×F，注意，E位的指數(shù)是-126，而不是0-127=-127，而且F位是0.xx格式而不是1.xx格式，比如0x00000001的浮點(diǎn)數(shù)為2-126×2-23=1.4012984643248170709237295832899e-45，而不是20-121×（1+2-23）。一旦E為不為0，從0變?yōu)?，不是增加2倍的關(guān)系，因?yàn)楣礁淖兞恕?/p>

3、若E位為255并且F位不為0時表示非數(shù)值，也就是說是非法數(shù)，例如0x7F800001。

4、 若E位為255并且F位為0時表示無窮大的數(shù)，此時浮點(diǎn)數(shù)受S位影響，例如0x7F800000表示正無窮大，0xFF800000表示負(fù)無窮大。當(dāng)我們使用1個數(shù)除以0時，結(jié)果將被記作0x7F800000。

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浮點(diǎn)型在多個處理器間通信時，傳遞的數(shù)值是它的二進(jìn)制數(shù)，比如說1234.5678這個浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制數(shù)是0x449A522B，如果使用串口發(fā)送的話，就會發(fā)現(xiàn)串口里發(fā)送的是0x44、0x9A、0x52和0x2B這4個數(shù)（發(fā)送的順序也可能是逆序，這與約定的字節(jié)序有關(guān)，與浮點(diǎn)格式無關(guān)），接收端接收到這4個數(shù)字后再組合成0x449A522B，按照IEEE 754的定義被解析成1234.5678，這樣就實(shí)現(xiàn)浮點(diǎn)數(shù)通信了。如果兩個處理器所使用的浮點(diǎn)數(shù)規(guī)則不同，則無法傳遞浮點(diǎn)數(shù)。

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浮點(diǎn)數(shù)的換算

下面來看看浮點(diǎn)數(shù)與二進(jìn)制數(shù)如何轉(zhuǎn)換。

1、二進(jìn)制數(shù)換算成浮點(diǎn)數(shù)：

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假如在內(nèi)存中有一個二進(jìn)制數(shù)為0x449A522C，先將十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，如下：

0100?0100? 1001? 1010?0101? 0010? 0010?1100

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按照SEF的格式分段，如下：

0?10001001? 00110100101001000101100

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這個數(shù)值不是特殊的情形，可以按照公式(-1)S×2E-127×(1+F)轉(zhuǎn)換。S位的值為(-1)0=1，E位的值為2137-127=1024。F位的值為1+2-3+2-4+2-6+2-9+2-11+2-14+2-18+2-20+2-21= 1.205632686614990234375。最終結(jié)果為1×1024×1.205632686614990234375=1234.56787109375。

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其中F位比較長，使用二進(jìn)制方式轉(zhuǎn)換比較麻煩，也可以先轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制再計算，轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制如下：

0011?0100? 1010? 0100?0101? 1000

0x3??0x4?? 0xA?? 0x4??0x5?? 0x8

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F位為23bits，需要在最后補(bǔ)一個0湊成24bits，共6個十六進(jìn)制數(shù)。F位的值為1+3×16-1+4×16-2+10×16-3+4×16-4+5×16-5+8×16-6=1.205632686614990234375，與上面使用二進(jìn)制方法得到的結(jié)果相同。

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2、浮點(diǎn)數(shù)換算成二進(jìn)制數(shù)：

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下面我們將-987.654e30換算成二進(jìn)制數(shù)。我們先不看符號位，將987.654e30歸一化為整數(shù)部分為1的形式，也就是寫作987.654e30=2E-127×（1+F）的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中E=log(987.654e30)/log2+127=109.6+127，取E位的整數(shù)值為109+127=236，再求F=987.654e30/2236-127-1=0.52172193，這個小數(shù)位數(shù)保留8位就夠了，已經(jīng)超出了7位的精度。然后我們求小數(shù)部分的二進(jìn)制數(shù)，這個轉(zhuǎn)換就沒啥好說的了，依次減去2的冪，從2-1一直到2-23，夠減的位置1，不夠減的位置0，例如，2-1為0.5，0.52172193-0.5=0.02172193，F位的bit22置1，2-2為0.25，0.02172193不夠減，F位的bit21置0，2-3為0.125，0.02172193不夠減，F位的bit20置0，2-4為0.0625，0.02172193不夠減，F位的bit19置0……，一直算到F位的bit0，這樣就得到F位的數(shù)值。

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如果覺得使用二進(jìn)制方式轉(zhuǎn)換太麻煩的話也可以使用十六進(jìn)制進(jìn)行轉(zhuǎn)換。16-1為0.0625，0.52172193/0.0625=8.3，說明夠減8個，記做0x8，0.52172193-0.0625×8=0.02172193，16-2為0.00390625，0.02172193/0.00390625=5.6，說明夠減5個，加上剛才的0x8記做0x85，以此類推：

?	16的-N次冪	被減數(shù)	十六進(jìn)制數(shù)	減后的數(shù)
1	0.0625	0.52172193	0x8	0.02172193
2	0.00390625	0.02172193	0x85	0.00219068
3	0.000244140625	0.00219068	0x858	0.000237555
4	0.0000152587890625	0.000237555	0x858F	0.0000086731640625
5	0.00000095367431640625	0.0000086731640625	0x858F9	0.00000009009521484375
6	0.000000059604644775390625	0.00000009009521484375	0x858F91	?

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一直湊夠23bits，也就是6個十六進(jìn)制，得到0x858F91，換算成二進(jìn)制如下所示：

1000?0101? 1000? 1111?1001? 0001

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由于只有23bits有效，因此需要去掉最后一個bit，二進(jìn)制本著0舍1入的原則，變成

1000?0101? 1000? 1111?1001? 001

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最后需要再補(bǔ)上前面的S位和E位。由于是負(fù)數(shù)，S位為1。E位為236，二進(jìn)制形式為1110 1100，將S、E、F位組合在一起就形成了：

1?1110 1100? 1000? 0101?1000? 1111? 1001?001

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從左邊最高位開始，4個一組合并成十六進(jìn)制：

1111?0110? 0100? 0010?1100? 0111? 1100?1001

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換算成十六進(jìn)制為：

0xF??0x6?? 0x4?? 0x2??0xC?? 0x7? 0xC??0x9

所以-987.654e30換算成二進(jìn)制數(shù)為0xF642C7C9。

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浮點(diǎn)數(shù)的精度

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在前面的講解中可以看到1.xx這個數(shù)量級的最小數(shù)是2-23，對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)值為1.00000011920928955078125，可以精確表示到小數(shù)點(diǎn)后23位，但有些C語言書上卻說float型的有效位只有6~7位，這是為什么？

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這是因?yàn)槎M(jìn)制小數(shù)與十進(jìn)制小數(shù)沒有完全一一對應(yīng)的關(guān)系，二進(jìn)制小數(shù)對于十進(jìn)制小數(shù)來說相當(dāng)于是離散的而不是連續(xù)的，我們來看看下面這些數(shù)字：

二進(jìn)制小數(shù)??????? 十進(jìn)制小數(shù)

2-23???????1.00000011920928955078125

2-22???????1.0000002384185791015625

2-21???????1.000000476837158203125

2-20???????1.00000095367431640625

2-19???????1.0000019073486328125

2-18???????1.000003814697265625

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不看S位和E位，只看F位，上表列出了1.xx這個數(shù)量級的6個最小冪的二進(jìn)制小數(shù)，對應(yīng)的十進(jìn)制在上表的右邊，可以看到使用二進(jìn)制所能表示的最小小數(shù)是1.00000011920928955078125，接下來是1.0000002384185791015625，這兩個數(shù)之間是有間隔的，如果想用二進(jìn)制小數(shù)來表示8位有效數(shù)（只算小數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)前面的1是隱藏的默認(rèn)值）1.00000002、1.00000003、1.00000004...這些數(shù)是無法辦到的，而7位有效數(shù)1.0000001可以用2-23來表示，1.0000002可以用2-22來表示，1.0000003可以用2-23+2-22來表示。從這個角度來看，float型所能精確表示的位數(shù)只有7位，7位之后的數(shù)雖然也是精確表示的，但卻無法表示任意一個想表示的數(shù)值。

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但還是有一些例外的，比如說7位有效數(shù)1.0000006這個數(shù)就無法使用F位表示，二進(jìn)制小數(shù)對于十進(jìn)制小數(shù)來說相當(dāng)于是離散的，剛好湊不出1.0000006這個數(shù)，從這點(diǎn)來看float型所能精確表示的位數(shù)只有6位。至于5位有效值的任何數(shù)都是可以使用F位相加組合出來的，即便是乘以E位的指數(shù)后也是可以準(zhǔn)確表示出來的。

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因此float型的有效位數(shù)是6~7位，但這個說法應(yīng)該不是非常準(zhǔn)確，準(zhǔn)確來說應(yīng)該是6位，C語言的頭文件中規(guī)定也是6位。

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對于一個很大的數(shù)，比如說1234567890，它是F位乘上E位的系數(shù)被放大了的，但它的有效位仍然是F位所能表示的6位有效數(shù)字。1234567890對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)是0x4E932C06，其中F位的數(shù)值為1.1497809886932373046875，E位的數(shù)值為230=1073741824，1073741824×1.1497809886932373046875=1234567936，對比1234567890，也只有高7位是有效位，后3位是無效的。int型定點(diǎn)數(shù)可以準(zhǔn)確的表示1234567890，而float浮點(diǎn)數(shù)則只能近似的表示1234567890，精度問題決定了float型根本無法取代int型。

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浮點(diǎn)數(shù)的比較

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float型的有效位數(shù)是6位，那么我們在用float型運(yùn)算時就要注意了，來看下面這段程序：

#include <stdio.h>int main(void) {float a = 9.87654321;float b = 9.87654322;if(a > b){printf("a > b\n");}else if(a == b){printf("a == b\n");}else{printf("a < b\n");}return 0; }

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按照我們平時的經(jīng)驗(yàn)來說這段程序應(yīng)該走a < b的分支，但程序運(yùn)行的結(jié)果卻走了a == b的分支，原因就是float型的精度問題，float型無法區(qū)分出小數(shù)點(diǎn)后的第8位數(shù)，在內(nèi)存中，a和b的二進(jìn)制數(shù)都是0x411E0652，因此就走了a == b的分支。

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某些編譯器在編譯時會發(fā)現(xiàn)a和b的值超出了浮點(diǎn)數(shù)的精度，會產(chǎn)生一個告警，提示數(shù)據(jù)超過精度，但有些編譯器則不會做任何提示。最可怕的是有一類編譯器，調(diào)試窗口里顯示的長度超出float型的精度，比如說a的值顯示為9.87654321，b的值顯示為9.87654322，但在運(yùn)行時，硬件可不管這套，硬件認(rèn)為這2個數(shù)都是0x411E0652，因此實(shí)際運(yùn)行結(jié)果是a == b的分支。

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由于精度這個問題的限制，我們在浮點(diǎn)數(shù)比較時就需要加一個可接受的精度條件來做判決，比如說上面的這個問題，如果我們認(rèn)為精度在0.00001就足夠了，那么a - b之差的絕對值只要小于0.00001，我們就認(rèn)為a和b的值是相等的，大于0.00001則認(rèn)為不等，還要考慮到a - b正負(fù)等情況，因此可以將上面的程序改寫為：

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#include <stdio.h>int main(void) {float a = 9.87654321;float b = 9.87654322;if(a - b < -0.00001){printf("a < b\n");}else if(a - b > 0.00001){printf("a > b\n");}else{printf("a == b\n");}return 0; }

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例子中a和b之差的絕對值小于0.00001，因此認(rèn)為a和b是相等的，運(yùn)行程序，也正確的打印了a == b。

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為什么我們要做一個精度的限定？這是因?yàn)槲覀冊趹?yīng)用中的精度往往要低于硬件的6位精度。

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浮點(diǎn)數(shù)的加減

?二進(jìn)制小數(shù)與十進(jìn)制小數(shù)之間不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，因此某些十進(jìn)制很整的加減法小數(shù)運(yùn)算由二進(jìn)制小數(shù)來實(shí)現(xiàn)就表現(xiàn)出了不整的情況，來看下面的例子：

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#include <stdio.h>int main(void) {float a = 10.2;float b = 9;float c;c= a - b;printf("%f\n", c);return 0; }

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如果用十進(jìn)制計算的話變量c應(yīng)該為1.2，在Visual C++ 2010環(huán)境下實(shí)驗(yàn)輸出為1.200000，但實(shí)際上c變量的值是1.1999998，只不過是在輸出時被四舍五入為1.200000罷了。在內(nèi)存中c變量的二進(jìn)制數(shù)是0x3F999998，它對應(yīng)的浮點(diǎn)數(shù)是0.19999980926513671875。如果我們將printf函數(shù)%f的格式改為%.7f格式，就會看到c變量輸出的值是1.1999998。

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兩個數(shù)量級相差很大的數(shù)做加減運(yùn)算時，數(shù)值小的浮點(diǎn)數(shù)會受精度限制而被忽略，看下面的例子：

#include <stdio.h>int main(void) {float a = 987654321;float b = 987.654322;float c;c= a + b;printf("%f\n", c);return 0; }
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Visual C++ 2013上的計算結(jié)果為987655296.000000，而實(shí)際的真實(shí)值為987655308.654322，二進(jìn)制值為0x4E6B79B2對應(yīng)987655296，就是987655296.000000。可以看出有效值是6位，如果按四舍五入的話可以精確到8位，其中變量b貢獻(xiàn)的有效數(shù)值只有2位。

? ? ? 987654321

+????987.654322

--------------------------------

987655308.654322??? 真實(shí)值

987655296.000000??? 計算值

987655296?????????? 二進(jìn)制值，0x4E6B79B2

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對于這種數(shù)量級相差很大的計算，計算結(jié)果會保證高位數(shù)有效，數(shù)量級小的數(shù)相對計算結(jié)果顯的太小了，不能按自身6位的精度保持，而是需要按照計算結(jié)果的6位精度保持。

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C語言中有關(guān)浮點(diǎn)數(shù)的定義

C語言對浮點(diǎn)數(shù)做了一些規(guī)定，下面是摘自VisualC++ 2013頭文件float.h中有關(guān)float型的定義，如下：

#define FLT_DIG 6 /* # of decimal digitsof precision */ #define FLT_EPSILON 1.192092896e-07F /* smallest such that 1.0+FLT_EPSILON!= 1.0 */ #define FLT_GUARD 0 #define FLT_MANT_DIG 24 /* # of bits in mantissa*/ #define FLT_MAX 3.402823466e+38F /* max value */ #define FLT_MAX_10_EXP 38 /* max decimal exponent*/ #define FLT_MAX_EXP 128 /* max binary exponent */ #define FLT_MIN 1.175494351e-38F /* min positive value */ #define FLT_MIN_10_EXP (-37) /* min decimal exponent */ #define FLT_MIN_EXP (-125) /* min binary exponent */

其中FLT_DIG定義了float型的十進(jìn)制精度，是6位，與我們上面的討論是一致的。

FLT_EPSILON定義了float型在1.xx數(shù)量級下的最小精度，1.xx數(shù)量級下判斷浮點(diǎn)數(shù)是否為0可以使用這個精度。

FLT_MANT_DIG定義了float型F位的長度。

FLT_MAX定義了float型可表示的最大數(shù)值。

FLT_MAX_10_EXP定義了float型十進(jìn)制的最大冪。

FLT_MAX_EXP定義了float型二進(jìn)制的最大冪。

FLT_MIN定義了float型所能表示的最小正數(shù)。

FLT_MIN_10_EXP定義了float型十進(jìn)制的最小冪。

FLT_MIN_EXP定義了float型二進(jìn)制的最小冪。

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float.h文件里對其它的浮點(diǎn)數(shù)也做了規(guī)定，有興趣的讀者可以打開float.h頭文件繼續(xù)研究。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的C语言的本质（4）——浮点数的本质与运算的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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