算法导论笔记：17摊还分析
? ? ? ?在攤還分析中，通過求數據結構的一系列的操作的平均時間，來評價操作的代價。這樣，即使這些操作中的某個單一操作的代價很高，也可以證明平均代價很低。攤還分析不涉及概率，它可以保證最壞情況下每個操作的平均性能。
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?????? 攤還分析有三種常用的技術：
? ? ???聚合分析，它確定n個操作的總代價的上界為T(n)，所以每個操作的平均代價為T(n)/n。每個操作都有相同的攤還代價。
? ? ???核算法：分析每個操作的攤還代價，不同于聚合分析，每種操作的攤還代價是不同的，核算法將序列中較早的操作的余額作為“信用”儲存起來，與數據結構中的特定對象相關聯，在隨后的操作中，儲存的信用可以用來進行支付。
? ? ???勢能法，與核算法類似，也是分析每個操作的代價，但將勢能作為一個整體存儲，而與數據結構中的某個對象無關。
一：聚合分析
?????? 聚合分析是證明n個操作的最壞情況下的總時間為T(n)，因而每個操作的平均代價（聚合代價）為T(n)/n。所以，聚合分析中的每個操作的聚合代價都是相同的。下面以棧操作和二進制計數器為例說明：
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?????? 1：棧操作
?????? 棧操作有PUSH和POP，兩個操作的都是O(1)時間的。現在增加一種新的操作MULITIPOP(S, k)，該操作刪除棧頂的k個元素，如果k > S.size，則刪除所有元素。該操作與實際執行的POP次數呈線性關系，代碼如下：
MULTIPOP(S, k)
?????? while not STACK-EMPTY(S) and k>0
????????????? POP(S)
????????????? k = k-1
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因此，MULTIPOP的代價為min(s, k)，其中s表示S.size。
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?????? 因為棧的大小最大為n，所以MULTIPOP的最壞情況為O(n)，所以，由n個PUSH,POP,MULTIPOP組成的操作序列的最壞代價為O( n^2)，因為序列可能包含O(n)個操作序列。
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?????? 上面的分析給出的界并不是緊確界，實際上，在一個空棧上執行n個PUSH, POP, MULTIPOP的操作序列，代價最多為O(n)。這是因為，當一個對象壓入棧后，至多將其彈出一次。所以，對于一個非空的棧，可以執行的POP的次數（包含MULTIPOP中的POP）最多與PUSH操作次數一樣，即n次。所以，對任意的n，任意一個由n個PUSH, POP, MULTIPOP組成的操作序列，最多花費O(n)。所以，每個操作的攤還代價為O(1)。
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2：二進制計數器遞增
?????? 用一個數組A[0..k-1]表示一個k位二進制數x，x的最低位存儲在A[0]中，最高位在A[k-1]中，初始情況下x=0。遞增代碼如下：
INCREMENT(A)
?????? i=0
?????? while i < A.length and A[i] == 1
????????????? A[i] = 0
????????????? i = i+1
?????? if i< A.length
????????????? A[i]= 1
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?????? 每次INCREMENT操作的代價，與翻轉的二進制位的數目呈線性關系。下圖顯示了將一個二進制數遞增16次的情況，初始值為0，最終變為16：
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?????? 最壞情況下，INCREMENT執行一次需要花費Θ(k)時間，因此，初始值為0的計數器執行n個INCREMENT操作的最壞情況花費為O(nk)時間。
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?????? 所以，對于一個初始值為0的計數器，執行n個INCREMENT操作序列最壞情況下時間為O(n)，所以，每個操作的攤還代價為O(1)。
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二：核算法
?????? 核算法，對不同的操作賦予不同的費用，這個費用就是攤還代價。當一個操作的攤還代價超過實際代價的時候，將差額存入數據結構中的特定對象，存入的差額稱為信用。對于后續操作中，攤還代價小于實際代價的情況，信用可以用來支付差額。
?????? 因為希望通過分析攤還代價來說明每個操作的平均代價的很小，所以應該確保n個操作序列的攤還代價是實際代價的上界。如果 表示第i個操作的真實代價，而 表示攤還代價，則對于任意的n，有： ? 。因為信用就是攤還代價和實際代價的差值，即 ? ，所以需要保持數據結構中的總信用永遠為非負值。
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1：棧操作
?????? 棧操作的實際代價如下：PUSH?? 1;??? POP?????? 1;??? MULTIPOP??? min(k,s)。為這些操作賦予的攤還代價為：????? PUSH?? 2;??? POP?????? 0； MULTIPOP??? 0。
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?????? 下面證明，如果按照攤還代價進行繳費，則可以支付任意的n個棧操作序列。在PUSH操作時，共繳費2美元，其中1美元支付PUSH的實際代價，將剩余的1美元存入插入的元素，作為信用。這樣，每個插入的元素都具有1美元的信用。這1美元的信用，實際上是用來支付POP操作的預付費。當執行一個POP的時候，并不繳額外的費用，而是使用信用來支付實際代價。MULTIPOP也一樣。所以，對任意的n個PUSH, POP, MULTIPOP組成的序列，總攤還代價為實際代價的上界，總攤還代價為O(n)。
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2：二進制計數器遞增
?????? INCREMENT的操作時間與實際翻轉的位數成正比，所以可以用翻轉的位數作為操作的實際代價。
?????? 在攤還分析中，對一次置位操作（0->1），繳費2美元，用1美元支付置位操作的實際代價，另存1美元在該位，作為信用，用來支付將來的復位操作(1->0)。所以，任何時刻，計數器中任何為1的位都存有1美元的信用。對于復位操作，無須繳納任何費用。
?????? 所以，每個INCREMENT操作最多置位一次，因此攤還代價為2美元。所以，n個INCREMENT操作，總攤還代價為O(n)。
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三：勢能法
?????? 勢能法與核算法類似，但是勢能法并不將預付代價表示為數據結構中特定對象的信用，而是表示為“勢能”。勢能是與整個數據結構相關聯，而不是某個特定的對象。將勢能釋放，就可以支付未來操作的代價。
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?????? 勢能法如下：對一個初始數據結構 執行n個操作。對于i = 1, 2,...,n， 表示第i個操作的實際代價， 表示在數據結構 上執行第i個操作得到的數據結構。勢函數 將每個數據結構 映射到一個實數 ，這個值就是關聯到數據結構 的勢。所以，第i個操作的攤還代價為。每個操作的攤還代價等于其實際代價加上此操作引起的勢能變化。
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轉載于:https://www.cnblogs.com/gqtcgq/p/7247227.html
總結
以上是生活随笔為你收集整理的算法导论笔记：17摊还分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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