本節內容

算法定義

時間復雜度

空間復雜度

常用算法實例

1.算法定義?

算法（Algorithm）是指解題方案的準確而完整的描述，是一系列解決問題的清晰指令，算法代表著用系統的方法描述解決問題的策略機制。也就是說，能夠對一定規范的輸入，在有限時間內獲得所要求的輸出。如果一個算法有缺陷，或不適合于某個問題，執行這個算法將不會解決這個問題。不同的算法可能用不同的時間、空間或效率來完成同樣的任務。一個算法的優劣可以用空間復雜度與時間復雜度來衡量。

一個算法應該具有以下七個重要的特征：

①有窮性（Finiteness）：算法的有窮性是指算法必須能在執行有限個步驟之后終止；

②確切性(Definiteness)：算法的每一步驟必須有確切的定義；

③輸入項(Input)：一個算法有0個或多個輸入，以刻畫運算對象的初始情況，所謂0個輸 ? ? 入是指算法本身定出了初始條件；

④輸出項(Output)：一個算法有一個或多個輸出，以反映對輸入數據加工后的結果。沒 ? ? ? 有輸出的算法是毫無意義的；

⑤可行性(Effectiveness)：算法中執行的任何計算步驟都是可以被分解為基本的可執行 ? ? ? 的操作步，即每個計算步都可以在有限時間內完成（也稱之為有效性）；

⑥高效性(High efficiency)：執行速度快，占用資源少；

⑦健壯性(Robustness)：對數據響應正確。

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2. 時間復雜度

計算機科學中，算法的時間復雜度是一個函數，它定量描述了該算法的運行時間,時間復雜度常用大O符號（大O符號（Big O notation）是用于描述函數漸進行為的數學符號。更確切地說，它是用另一個（通常更簡單的）函數來描述一個函數數量級的漸近上界。在數學中，它一般用來刻畫被截斷的無窮級數尤其是漸近級數的剩余項；在計算機科學中，它在分析算法復雜性的方面非常有用。）表述，使用這種方式時，時間復雜度可被稱為是漸近的，它考察當輸入值大小趨近無窮時的情況。

大O，簡而言之可以認為它的含義是“order of”（大約是）。

無窮大漸近
大O符號在分析算法效率的時候非常有用。舉個例子，解決一個規模為 n 的問題所花費的時間（或者所需步驟的數目）可以被求得：T(n) = 4n^2 - 2n + 2。
當 n 增大時，n^2; 項將開始占主導地位，而其他各項可以被忽略——舉例說明：當 n = 500，4n^2; 項是 2n 項的1000倍大，因此在大多數場合下，省略后者對表達式的值的影響將是可以忽略不計的。

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常數階O(1)

常數又稱定數，是指一個數值不變的常量，與之相反的是變量

為什么下面算法的時間復雜度不是O(3)，而是O(1)。

1 2 3

int sum = 0,n = 100; /*執行一次*/? sum = （1+n）*n/2; /*執行一次*/? printf（"%d", sum）; /*行次*/

這個算法的運行次數函數是f（n）=3。根據我們推導大O階的方法，第一步就是把常數項3改為1。在保留最高階項時發現，它根本沒有最高階項，所以這個算法的時間復雜度為O(1)。

另外，我們試想一下，如果這個算法當中的語句sum=（1+n）*n/2有10句，即：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

int sum = 0, n = 100; /*執行1次*/? sum = （1+n）*n/2; /*執行第1次*/? sum = （1+n）*n/2; /*執行第2次*/? sum = （1+n）*n/2; /*執行第3次*/? sum = （1+n）*n/2; /*執行第4次*/? sum = （1+n）*n/2; /*執行第5次*/? sum = （1+n）*n/2; /*執行第6次*/? sum = （1+n）*n/2; /*執行第7次*/? sum = （1+n）*n/2; /*執行第8次*/? sum = （1+n）*n/2; /*執行第9次*/? sum = （1+n）*n/2; /*執行第10次*/? printf（"%d",sum）; /*執行1次*/

事實上無論n為多少，上面的兩段代碼就是3次和12次執行的差異。這種與問題的大小無關（n的多少），執行時間恒定的算法，我們稱之為具有O(1)的時間復雜度，又叫常數階。

注意：不管這個常數是多少，我們都記作O(1)，而不能是O(3)、O(12)等其他任何數字，這是初學者常常犯的錯誤。

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?O(n【時間規模，也可以理解為運行次數】)，當運算里沒有最高階項(也就是次方)時，時間規模就是1，所以為o(1),

如果運算里包含了最高階項(也就是次方)時，且次方數不為1時，時間規模就是最高階項(也就是次方數)，如o(3)，

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推導大O階方法

1.用常數1取代運行時間中的所有加法常數

2.在修改后的運行次數函數中，只保留最高階項

3.如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數

　　

對數階O(log2n)　

對數

如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么數x叫做以a為底N的對數（logarithm），記作x=logaN, 。其中，a叫做對數的底數，N叫做真數。
5^2 = 25 , 記作 2= log5 25?
對數是一種運算，與指數是互逆的運算。例如

① 3^2=9 <==> 2=log<3>9；

② 4^(3/2)=8 <==> 3/2=log<4>8；

③ 10^n=35 <==> n=lg35。為了使用方便，人們逐漸把以10為底的常用對數記作lgN

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對數階

1 2 3 4 5 6 7 8 9

int count = 1; while (count < n) {??? count = count * 2; /* 時間復雜度為O(1)的程序步驟序列 */ }

由于每次count乘以2之后，就距離n更近了一分。

也就是說，有多少個2相乘后大于n，則會退出循環。

由2^x=n得到x=log2n。所以這個循環的時間復雜度為O(logn)。

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線性階O(n)　　

執行時間隨問題規模增長呈正比例增長

1 2 3 4 5

data = [ 8,3,67,77,78,22,6,3,88,21,2] find_num = 22 for i in data: ????if i == 22: ????????print("find",find_num,i )

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線性對數階O(nlog2n)

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平方階O(n^2)

1 2 3 4

for i in range(100): ????for k in range(100): ????????print(i,k)

　　

立方階O(n^3)
k次方階O(n^k),
指數階O(2^n)。
隨著問題規模n的不斷增大，上述時間復雜度不斷增大，算法的執行效率越低。　　

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一、計算方法 1.一個算法執行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機運行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個算法都上機測試，只需知道哪個算法花費的時間多，哪個算法花費的時間少就可以了。并且一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例，哪個算法中語句執行次數多，它花費時間就多。 一個算法中的語句執行次數稱為語句頻度或時間頻度。記為T(n)。 2.一般情況下，算法的基本操作重復執行的次數是模塊n的某一個函數f（n），因此，算法的時間復雜度記做：T（n）=O（f（n））。隨著模塊n的增大，算法執行的時間的增長率和f（n）的增長率成正比，所以f（n）越小，算法的時間復雜度越低，算法的效率越高。 在計算時間復雜度的時候，先找出算法的基本操作，然后根據相應的各語句確定它的執行次數，再找出T（n）的同數量級（它的同數量級有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出后，f（n）=該數量級，若T(n)/f(n)求極限可得到一常數c，則時間復雜度T（n）=O（f（n））。 3.常見的時間復雜度 按數量級遞增排列，常見的時間復雜度有： 常數階O(1), 對數階O(log2n), 線性階O(n), 線性對數階O(nlog2n), 平方階O(n^2)， 立方階O(n^3),...， k次方階O(n^k), 指數階O(2^n) 。 其中， 1.O(n)，O(n^2)， 立方階O(n^3),...， k次方階O(n^k) 為多項式階時間復雜度，分別稱為一階時間復雜度，二階時間復雜度。。。。 2.O(2^n)，指數階時間復雜度，該種不實用 3.對數階O(log2n), 線性對數階O(nlog2n)，除了常數階以外，該種效率最高 例：算法：for（i=1;i<=n;++i）{for(j=1;j<=n;++j){c[ i ][ j ]=0; //該步驟屬于基本操作 執行次數：n^2 for(k=1;k<=n;++k)c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //該步驟屬于基本操作 執行次數：n^3}}則有 T（n）= n^2+n^3，根據上面括號里的同數量級，我們可以確定 n^3為T（n）的同數量級則有f（n）= n^3，然后根據T（n）/f（n）求極限可得到常數c則該算法的 時間復雜度：T（n）=O（n^3) 四、

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定義：如果一個問題的規模是n，解這一問題的某一算法所需要的時間為T(n)，它是n的某一函數 T(n)稱為這一算法的“時間復雜性”。 當輸入量n逐漸加大時，時間復雜性的極限情形稱為算法的“漸近時間復雜性”。 我們常用大O表示法表示時間復雜性，注意它是某一個算法的時間復雜性。大O表示只是說有上界，由定義如果f(n)=O(n)，那顯然成立f(n)=O(n^2)，它給你一個上界，但并不是上確界，但人們在表示的時候一般都習慣表示前者。 此外，一個問題本身也有它的復雜性，如果某個算法的復雜性到達了這個問題復雜性的下界，那就稱這樣的算法是最佳算法。 “大O記法”：在這種描述中使用的基本參數是 n，即問題實例的規模，把復雜性或運行時間表達為n的函數。這里的“O”表示量級 (order)，比如說“二分檢索是 O(logn)的”,也就是說它需要“通過logn量級的步驟去檢索一個規模為n的數組”記法 O ( f(n) )表示當 n增大時，運行時間至多將以正比于 f(n)的速度增長。 這種漸進估計對算法的理論分析和大致比較是非常有價值的，但在實踐中細節也可能造成差異。例如，一個低附加代價的O(n2)算法在n較小的情況下可能比一個高附加代價的 O(nlogn)算法運行得更快。當然，隨著n足夠大以后，具有較慢上升函數的算法必然工作得更快。 O(1) Temp=i;i=j;j=temp;???????????????????? 以上三條單個語句的頻度均為1，該程序段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。算法的時間復雜度為常數階，記作T(n)=O(1)。如果算法的執行時間不隨著問題規模n的增加而增長，即使算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類算法的時間復雜度是O(1)。 O(n^2) 2.1. 交換i和j的內容 ?????sum=0；?????????????????（一次） ?????for(i=1;i<=n;i++)???????（n次 ） ????????for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ） ?????????sum++；???????（n^2次 ） 解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2) 2.2.??? ????for (i=1;i<n;i++) ????{ ????????y=y+1;?????????①??? ????????for (j=0;j<=(2*n);j++)???? ???????????x++;????????②?????? ????}????????? 解： 語句1的頻度是n-1 ??????????語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1 ??????????f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2 ??????????該程序的時間復雜度T(n)=O(n^2).????????? O(n)?????? ?????????????????????????????????????????????????????? 2.3. ????a=0; ????b=1;??????????????????????① ????for (i=1;i<=n;i++) ② ????{?? ???????s=a+b;　　　　③ ???????b=a;　　　　　④?? ???????a=s;　　　　　⑤ ????} 解：語句1的頻度：2,???????? ???????????語句2的頻度： n,???????? ??????????語句3的頻度： n-1,???????? ??????????語句4的頻度：n-1,???? ??????????語句5的頻度：n-1,?????????????????????????????????? ??????????T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n). ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? O(log2n ) 2.4. ?????i=1;???????① ????while (i<=n) ???????i=i*2; ② 解： 語句1的頻度是1,?? ??????????設語句2的頻度是f(n),???則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n???? ??????????取最大值f(n)= log2n, ??????????T(n)=O(log2n ) O(n^3) 2.5. ????for(i=0;i<n;i++) ????{?? ???????for(j=0;j<i;j++)?? ???????{ ??????????for(k=0;k<j;k++) ?????????????x=x+2;?? ???????} ????} 解：當i=m, j=k的時候,內層循環的次數為k當i=m時, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以這里最內循環共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則循環共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以時間復雜度為O(n^3). ?????????????????????????????????? 我們還應該區分算法的最壞情況的行為和期望行為。如快速排序的最 壞情況運行時間是 O(n^2)，但期望時間是 O(nlogn)。通過每次都仔細 地選擇基準值，我們有可能把平方情況 (即O(n^2)情況)的概率減小到幾乎等于 0。在實際中，精心實現的快速排序一般都能以 (O(nlogn)時間運行。 下面是一些常用的記法： 訪問數組中的元素是常數時間操作，或說O(1)操作。一個算法如 果能在每個步驟去掉一半數據元素，如二分檢索，通常它就取 O(logn)時間。用strcmp比較兩個具有n個字符的串需要O(n)時間。常規的矩陣乘算法是O(n^3)，因為算出每個元素都需要將n對 元素相乘并加到一起，所有元素的個數是n^2。 指數時間算法通常來源于需要求出所有可能結果。例如，n個元 素的集合共有2n個子集,所以要求出所有子集的算法將是O(2n)的。指數算法一般說來是太復雜了，除非n的值非常小，因為，在 這個問題中增加一個元素就導致運行時間加倍。不幸的是，確實有許多問題 (如著名的“巡回售貨員問題” )，到目前為止找到的算法都是指數的。如果我們真的遇到這種情況，通常應該用尋找近似最佳結果的算法替代之。

轉載于:https://www.cnblogs.com/adc8868/p/8926183.html

《新程序員》：云原生和全面數字化實踐50位技術專家共同創作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第四百一十四节，python常用算法学习的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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