參考博客：http://blog.51cto.com/ahalei/1387799

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? ? ? ?與Floyd-Warshall算法一樣這里仍然使用二維數組e來存儲頂點之間邊的關系，初始值如下。

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? ? ? ?我們還需要用一個一維數組dis來存儲1號頂點到其余各個頂點的初始路程，如下。

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? ? ? ?我們將此時dis數組中的值稱為最短路的“估計值”。 ? ? ? ?既然是求1號頂點到其余各個頂點的最短路程，那就先找一個離1號頂點最近的頂點。通過數組dis可知當前離1號頂點最近是2號頂點。當選擇了2號頂點后，dis[2]的值就已經從“估計值”變為了“確定值”，即1號頂點到2號頂點的最短路程就是當前dis[2]值。為什么呢？你想啊，目前離1號頂點最近的是2號頂點，并且這個圖所有的邊都是正數，那么肯定不可能通過第三個頂點中轉，使得1號頂點到2號頂點的路程進一步縮短了。因為1號頂點到其它頂點的路程肯定沒有1號到2號頂點短，對吧O(∩_∩)O~ ? ? ? ?既然選了2號頂點，接下來再來看2號頂點有哪些出邊呢。有2->3和2->4這兩條邊。先討論通過2->3這條邊能否讓1號頂點到3號頂點的路程變短。也就是說現在來比較dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1號頂點到3號頂點的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1號頂點到2號頂點的路程，e[2][3]表示2->3這條邊。所以dis[2]+e[2][3]就表示從1號頂點先到2號頂點，再通過2->3這條邊，到達3號頂點的路程。 ? ? ? ?我們發現dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此dis[3]要更新為10。這個過程有個專業術語叫做“松弛”。即1號頂點到3號頂點的路程即dis[3]，通過2->3這條邊松弛成功。這便是Dijkstra算法的主要思想：通過“邊”來松弛1號頂點到其余各個頂點的路程。 ? ? ? ? ?同理通過2->4（e[2][4]），可以將dis[4]的值從∞松弛為4（dis[4]初始為∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此dis[4]要更新為4）。 ? ? ? ?剛才我們對2號頂點所有的出邊進行了松弛。松弛完畢之后dis數組為：

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? ? ? ?接下來，繼續在剩下的3、4、5和6號頂點中，選出離1號頂點最近的頂點。通過上面更新過dis數組，當前離1號頂點最近是4號頂點。此時，dis[4]的值已經從“估計值”變為了“確定值”。下面繼續對4號頂點的所有出邊（4->3，4->5和4->6）用剛才的方法進行松弛。松弛完畢之后dis數組為：

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? ? ? ?繼續在剩下的3、5和6號頂點中，選出離1號頂點最近的頂點，這次選擇3號頂點。此時，dis[3]的值已經從“估計值”變為了“確定值”。對3號頂點的所有出邊（3->5）進行松弛。松弛完畢之后dis數組為：

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? ? ? ?繼續在剩下的5和6號頂點中，選出離1號頂點最近的頂點，這次選擇5號頂點。此時，dis[5]的值已經從“估計值”變為了“確定值”。對5號頂點的所有出邊（5->4）進行松弛。松弛完畢之后dis數組為：

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? ? ? ?最后對6號頂點所有點出邊進行松弛。因為這個例子中6號頂點沒有出邊，因此不用處理。到此，dis數組中所有的值都已經從“估計值”變為了“確定值”。 ? ? ? ?最終dis數組如下，這便是1號頂點到其余各個頂點的最短路徑。

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? ? ? ?OK，現在來總結一下剛才的算法。算法的基本思想是：每次找到離源點（上面例子的源點就是1號頂點）最近的一個頂點，然后以該頂點為中心進行擴展，最終得到源點到其余所有點的最短路徑。基本步驟如下：

• 將所有的頂點分為兩部分：已知最短路程的頂點集合P和未知最短路徑的頂點集合Q。最開始，已知最短路徑的頂點集合P中只有源點一個頂點。我們這里用一個book[ i ]數組來記錄哪些點在集合P中。例如對于某個頂點i，如果book[ i ]為1則表示這個頂點在集合P中，如果book[ i ]為0則表示這個頂點在集合Q中。

• 設置源點s到自己的最短路徑為0即dis=0。若存在源點有能直接到達的頂點i，則把dis[ i ]設為e[s][ i ]。同時把所有其它（源點不能直接到達的）頂點的最短路徑為設為∞。

• 在集合Q的所有頂點中選擇一個離源點s最近的頂點u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以點u為起點的邊，對每一條邊進行松弛操作。例如存在一條從u到v的邊，那么可以通過將邊u->v添加到尾部來拓展一條從s到v的路徑，這條路徑的長度是dis[u]+e[u][v]。如果這個值比目前已知的dis[v]的值要小，我們可以用新值來替代當前dis[v]中的值。

• 重復第3步，如果集合Q為空，算法結束。最終dis數組中的值就是源點到所有頂點的最短路徑。

  1 #include<cstring> 2 #include<iostream> 3 #define Max 6 4 #define inf 0x3f3f3f3f 5 using namespace std; 6 7 /* 8 VM[][]->鄰接矩陣 9 v0->起始頂點，即計算頂點v0到其他頂點的距離 10 prepoint[i]-> 即起始頂點到第i個頂點最短路徑所經歷的全部頂點中，位于頂點i之前的那個頂點 11 dist[i]-> 起始頂點到頂點i的最短路徑長度 12 */ 13 14 void dijkstra(unsigned int VM[Max][Max],int v0,unsigned int prepoint[],unsigned int dist[]) 15 { 16 int k; 17 unsigned int temp,min; 18 int flag[Max]={0};//flag[i]表示起始頂點到頂點i的最短距離已獲取 19 for(int i=0;i<Max;i++) 20 { 21 flag[i]=0; //頂點i的最短路徑還沒獲取 22 prepoint[i]=0; //頂點i的前驅頂點是0 23 dist[i]=VM[v0][i]; //頂點i的最短路徑為起始頂點到頂點i的權 24 } 25 flag[v0]=1; 26 prepoint[0]=0; 27 for(int i=0;i<Max;i++) 28 { 29 min=inf; 30 for(int j=0;j<Max;j++) 31 { 32 if(flag[j]==0&&min>dist[j])//尋找當前的最小路徑，即數組dist中最小的權的頂點 33 { 34 min=dist[j]; 35 k=j; 36 } 37 } 38 flag[k]=1; //標記頂點k已經獲得最短路徑 39 for(int j=0;j<Max;j++) //當前已知頂點k的最短路徑，更新為獲取最短路徑的頂點的最短路徑和前驅頂點 40 { 41 temp=(VM[k][j]==inf?inf:(min+VM[k][j])); 42 if(dist[j]>temp&&flag[j]==0) 43 { 44 dist[j]=temp; 45 prepoint[j]=k; 46 } 47 } 48 } 49 for(int i=0;i<Max;i++) 50 { 51 cout<<"shortest(1,"<<i+1<<")="<<dist[i]<<endl; 52 } 53 } 54 int main() 55 { 56 unsigned int VM[Max][Max]={{0, 1, 12, inf, inf, inf}, 57 {inf, 0, 9, 3, inf, inf}, 58 {inf, inf, 0, inf, 5, inf}, 59 {inf, inf, 4, 0, 13, 15}, 60 {inf, inf, inf, inf, 0, 4}, 61 {inf, inf, inf, inf, inf, 0}}; 62 unsigned int prepoint[Max]; 63 unsigned int dist[Max]; 64 memset(prepoint,0,sizeof(prepoint)); 65 memset(dist,0,sizeof(dist)); 66 dijkstra(VM,0,prepoint,dist); 67 return 0; 68 }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/zjl192628928/p/9284606.html

《新程序員》：云原生和全面數字化實踐50位技術專家共同創作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Dijstra算法求最短路径的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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