【學(xué)習(xí)筆記】斜率優(yōu)化

[SDOI2012]任務(wù)安排

斜率優(yōu)化入門題：

設(shè)\(f(x)\)為\(F(x)\)的后綴和，\(t(x)\)為\(T(x)\)的前綴和。\(dp(i)\)表示完成到第\(i\)任務(wù)的最小代價(jià)，轉(zhuǎn)移：

\(dp(i)=\min \{dp(j) +f(j+1)\times(S+t(i)-t(j)) \}\)

拆掉：

• 和\(j\)無關(guān): 沒有
• 只和\(j\)相關(guān):\(dp(j)+f(j+1)\times(S-t(j))\)
• 和\(i,j\)相關(guān):\(f(j+1)\times t(i)\)

我們發(fā)現(xiàn)只和\(j\)相關(guān)的可以直接預(yù)處理，現(xiàn)在的問題是確定了\(i\)如何快速找到一個(gè)\(j\)

令\(y_j=dp(j)+f(j+1)\times(S-t(j))\)，\(x_j=f(j+1)\)，原式可以寫成：
\[ dp(i)= y_j+x_jt(i) \]

轉(zhuǎn)換一下式子
\[ y_j=-t(i)x_j+dp(i) \]

現(xiàn)在問題就變成了確定了一個(gè)\(i\)，要快速查詢前面的一個(gè)\(j\)使得\(dp(i)\)最小

把這個(gè)東西看成一條直線，就變成了我有一條在平面上平移的斜率為\(-t(i)\)的直線，現(xiàn)在要找一個(gè)點(diǎn)\((x_j,y_j)\)使得過這個(gè)點(diǎn)的斜率為\(-t(i)\)的直線的截距盡量小。

藍(lán)線:斜率為\(-t(i)\)的線

紫點(diǎn):\((x_j,y_j)\)

很明顯，可以看做有一條在\(y\)負(fù)半軸無限遠(yuǎn)處有一條直線慢慢上移(截距慢慢變大)，這條直線突然經(jīng)過一個(gè)我們集合內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，它此時(shí)的截距就是最小的截距。很顯然，這個(gè)點(diǎn)一定在凸包上面，而且這個(gè)點(diǎn)左右兩邊的斜率一定是左邊更小，右邊更大(斜率是負(fù)數(shù))。

動(dòng)態(tài)維護(hù)一下凸包就好了。

//@winlere #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm>using namespace std; typedef long long ll; inline int qr(){register int ret=0,f=0;register char c=getchar();while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();return f?-ret:ret; } int n,s; const int maxn=3e5+5; int Ti[maxn],Fi[maxn]; ll st[maxn],sf[maxn]; ll x[maxn],y[maxn],q[maxn],dp[maxn]; int cnt;inline ll getval(const int&i,const int&j){return dp[j]+sf[j+1]*(s+st[i]-st[j]); }inline bool chek0(const int&i,const int&j,const ll&k){return (long double)1.0*((y[i]+dp[i])-(y[j]+dp[j]))*(x[i]-x[k])<=(long double)1.0*((y[i]+dp[i])-(y[k]+dp[k]))*(x[i]-x[j]); }inline bool chek(const int&i,const int&j,const ll&k){return (long double)1.0*(y[i]+dp[i])-(y[j]+dp[j])<=(long double)1.0*k*(x[i]-x[j]); }inline int lookup(const ll&k){register int l=1,r=cnt-1,ret=cnt,mid;while(l<=r){mid=(l+r)>>1;if(chek(q[mid],q[mid+1],k))r=mid-1,ret=mid;else l=mid+1;}return q[ret]; } int main(){n=qr();s=qr();for(register int t=1;t<=n;++t)Ti[t]=qr(),Fi[t]=qr(),st[t]=st[t-1]+Ti[t];for(register int t=n;t>=0;--t) sf[t]=sf[t+1]+Fi[t];for(register int t=0;t<=n;++t) y[t]=sf[t+1]*(s-st[t]),x[t]=sf[t+1];q[cnt=1]=0;for(register int t=1;t<=n;++t){dp[t]=getval(t,lookup(-st[t]));while(cnt>1&&chek0(q[cnt-1],q[cnt],t)) --cnt;q[++cnt]=t;}cout<<dp[n]<<endl;return 0; }

D - Cats Transport

\(O(n^2)\)的轉(zhuǎn)移：
\[ dp(i,j)=\min\{dp(i-1,j),dp(i-1,k)+(j-k)\times t_j-(sum(j)-sum(k))\} \\ sum(i)=\Sigma_{j=1}^it_j-dis(1,j) \]
拆開\(j,k\)直接變成一個(gè)斜率優(yōu)化的套路式。

\(x_k=k,y_k=dp(i-1,k)+sum(k)\)

原式變?yōu)?
\[ y_k=t_jx_k+(dp(j)-j\times dis(1,j)+sum(j)) \]
查詢一個(gè)截距最小值。好像要單調(diào)隊(duì)列維護(hù)。查到哪個(gè)\(k\)轉(zhuǎn)移套到原式就好了。

不過這里復(fù)雜度貌似\(O(n)(k\le 100)\)

//@winlere #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue>using namespace std; typedef long long ll; inline ll qr(){register ll ret=0,f=0;register char c=getchar();while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();return f?-ret:ret; } const int maxn=1e5+5; int n,m,p; int dis[maxn]; ll sumd[maxn]; ll sumdata[maxn]; ll x[maxn]; ll y[maxn]; ll dp[101][maxn]; struct NODE{int pos,time;ll limit;NODE(){limit=pos=time=0;}inline bool operator <(const NODE&a)const{return limit<a.limit;}inline void scan(){pos=qr();time=qr();limit=time-sumd[pos];} }data[maxn];typedef deque<int>::iterator it; deque < int > q;int main(){n=qr();m=qr();p=qr();for(register int t=2;t<=n;++t)sumd[t]=(dis[t]=qr())+sumd[t-1];for(register int t=1;t<=m;++t)data[t].scan();sort(data+1,data+m+1);for(register int t=1;t<=m;++t) sumdata[t]=data[t].limit+sumdata[t-1];memset(dp,5,sizeof dp);dp[0][0]=0;it ita;for(register int i=0;i<=m;++i)x[i]=i;for(register int t=1;t<=p;++t){for(register int i=0;i<=m;++i){dp[t][i]=dp[t-1][i];y[i]=dp[t-1][i]+sumdata[i];}q.clear();for(register int i=1;i<=m;++i){q.push_back(i-1);ita=q.begin();while(q.size()>1&&y[*(ita+1)]-y[*ita]<=1ll*data[i].limit*((*(ita+1))-(*ita))) q.pop_front(),ita=q.begin();register int j=q.front();dp[t][i]=min(dp[t][i],dp[t-1][j]+1ll*(i-j)*data[i].limit-(sumdata[i]-sumdata[j]));ita=q.end()-1;while(q.size()>1&&(y[*ita]-1ll*y[*(ita-1)])*(i-(*ita))>=1ll*(y[i]-y[*ita])*((*ita)-(*(ita-1)))) q.pop_back(),ita=q.end()-1;;}}cout<<dp[p][m]<<endl;return 0;}

參考文獻(xiàn)：

瓦努霍格木茨格蘭芬多神威無敵無雙超神大聚聚yyb的博客

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/winlere/p/10992557.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【学习笔记】斜率优化的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。