【學習筆記】斜率優化

[SDOI2012]任務安排

斜率優化入門題：

設\(f(x)\)為\(F(x)\)的后綴和，\(t(x)\)為\(T(x)\)的前綴和。\(dp(i)\)表示完成到第\(i\)任務的最小代價，轉移：

\(dp(i)=\min \{dp(j) +f(j+1)\times(S+t(i)-t(j)) \}\)

拆掉：

• 和\(j\)無關: 沒有
• 只和\(j\)相關:\(dp(j)+f(j+1)\times(S-t(j))\)
• 和\(i,j\)相關:\(f(j+1)\times t(i)\)

我們發現只和\(j\)相關的可以直接預處理，現在的問題是確定了\(i\)如何快速找到一個\(j\)

令\(y_j=dp(j)+f(j+1)\times(S-t(j))\)，\(x_j=f(j+1)\)，原式可以寫成：
\[ dp(i)= y_j+x_jt(i) \]

轉換一下式子
\[ y_j=-t(i)x_j+dp(i) \]

現在問題就變成了確定了一個\(i\)，要快速查詢前面的一個\(j\)使得\(dp(i)\)最小

把這個東西看成一條直線，就變成了我有一條在平面上平移的斜率為\(-t(i)\)的直線，現在要找一個點\((x_j,y_j)\)使得過這個點的斜率為\(-t(i)\)的直線的截距盡量小。

藍線:斜率為\(-t(i)\)的線

紫點:\((x_j,y_j)\)

很明顯，可以看做有一條在\(y\)負半軸無限遠處有一條直線慢慢上移(截距慢慢變大)，這條直線突然經過一個我們集合內的點時，它此時的截距就是最小的截距。很顯然，這個點一定在凸包上面，而且這個點左右兩邊的斜率一定是左邊更小，右邊更大(斜率是負數)。

動態維護一下凸包就好了。

//@winlere #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm>using namespace std; typedef long long ll; inline int qr(){register int ret=0,f=0;register char c=getchar();while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();return f?-ret:ret; } int n,s; const int maxn=3e5+5; int Ti[maxn],Fi[maxn]; ll st[maxn],sf[maxn]; ll x[maxn],y[maxn],q[maxn],dp[maxn]; int cnt;inline ll getval(const int&i,const int&j){return dp[j]+sf[j+1]*(s+st[i]-st[j]); }inline bool chek0(const int&i,const int&j,const ll&k){return (long double)1.0*((y[i]+dp[i])-(y[j]+dp[j]))*(x[i]-x[k])<=(long double)1.0*((y[i]+dp[i])-(y[k]+dp[k]))*(x[i]-x[j]); }inline bool chek(const int&i,const int&j,const ll&k){return (long double)1.0*(y[i]+dp[i])-(y[j]+dp[j])<=(long double)1.0*k*(x[i]-x[j]); }inline int lookup(const ll&k){register int l=1,r=cnt-1,ret=cnt,mid;while(l<=r){mid=(l+r)>>1;if(chek(q[mid],q[mid+1],k))r=mid-1,ret=mid;else l=mid+1;}return q[ret]; } int main(){n=qr();s=qr();for(register int t=1;t<=n;++t)Ti[t]=qr(),Fi[t]=qr(),st[t]=st[t-1]+Ti[t];for(register int t=n;t>=0;--t) sf[t]=sf[t+1]+Fi[t];for(register int t=0;t<=n;++t) y[t]=sf[t+1]*(s-st[t]),x[t]=sf[t+1];q[cnt=1]=0;for(register int t=1;t<=n;++t){dp[t]=getval(t,lookup(-st[t]));while(cnt>1&&chek0(q[cnt-1],q[cnt],t)) --cnt;q[++cnt]=t;}cout<<dp[n]<<endl;return 0; }

D - Cats Transport

\(O(n^2)\)的轉移：
\[ dp(i,j)=\min\{dp(i-1,j),dp(i-1,k)+(j-k)\times t_j-(sum(j)-sum(k))\} \\ sum(i)=\Sigma_{j=1}^it_j-dis(1,j) \]
拆開\(j,k\)直接變成一個斜率優化的套路式。

\(x_k=k,y_k=dp(i-1,k)+sum(k)\)

原式變為:
\[ y_k=t_jx_k+(dp(j)-j\times dis(1,j)+sum(j)) \]
查詢一個截距最小值。好像要單調隊列維護。查到哪個\(k\)轉移套到原式就好了。

不過這里復雜度貌似\(O(n)(k\le 100)\)

//@winlere #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue>using namespace std; typedef long long ll; inline ll qr(){register ll ret=0,f=0;register char c=getchar();while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();return f?-ret:ret; } const int maxn=1e5+5; int n,m,p; int dis[maxn]; ll sumd[maxn]; ll sumdata[maxn]; ll x[maxn]; ll y[maxn]; ll dp[101][maxn]; struct NODE{int pos,time;ll limit;NODE(){limit=pos=time=0;}inline bool operator <(const NODE&a)const{return limit<a.limit;}inline void scan(){pos=qr();time=qr();limit=time-sumd[pos];} }data[maxn];typedef deque<int>::iterator it; deque < int > q;int main(){n=qr();m=qr();p=qr();for(register int t=2;t<=n;++t)sumd[t]=(dis[t]=qr())+sumd[t-1];for(register int t=1;t<=m;++t)data[t].scan();sort(data+1,data+m+1);for(register int t=1;t<=m;++t) sumdata[t]=data[t].limit+sumdata[t-1];memset(dp,5,sizeof dp);dp[0][0]=0;it ita;for(register int i=0;i<=m;++i)x[i]=i;for(register int t=1;t<=p;++t){for(register int i=0;i<=m;++i){dp[t][i]=dp[t-1][i];y[i]=dp[t-1][i]+sumdata[i];}q.clear();for(register int i=1;i<=m;++i){q.push_back(i-1);ita=q.begin();while(q.size()>1&&y[*(ita+1)]-y[*ita]<=1ll*data[i].limit*((*(ita+1))-(*ita))) q.pop_front(),ita=q.begin();register int j=q.front();dp[t][i]=min(dp[t][i],dp[t-1][j]+1ll*(i-j)*data[i].limit-(sumdata[i]-sumdata[j]));ita=q.end()-1;while(q.size()>1&&(y[*ita]-1ll*y[*(ita-1)])*(i-(*ita))>=1ll*(y[i]-y[*ita])*((*ita)-(*(ita-1)))) q.pop_back(),ita=q.end()-1;;}}cout<<dp[p][m]<<endl;return 0;}

參考文獻：

瓦努霍格木茨格蘭芬多神威無敵無雙超神大聚聚yyb的博客

轉載于:https://www.cnblogs.com/winlere/p/10992557.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【学习笔记】斜率优化的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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