一，二階非齊次線性ODE的標準形式：

• 表示輸入、驅動
• ?表示輸出、響應

二，通解：

• ?
• 叫補充解，是齊次方程的通解
• （作為的相伴方程）
• 是非齊次方程的特解

三，應用：

• 彈簧—質量—阻尼系統（第九講）
• 如圖
• 在系統中，對小車施加額外的一個力
• 標準形式：
• 被動系統：當時，系統沒有外力干涉，只是被動地對初始條件進行響應
• 受迫系統：當時，系統一直有外力干涉，強迫它運動

?

• 電路（第八講）
• 如圖
• R表示電阻，C表示電容，q表示電荷，j表示電流，表示電動勢
• 在電路中，串聯額外的一個電感L
• 基爾霍夫定律：當環繞電路運行時，元件的電壓降之和為0
• 數學模型：，
• 兩邊求導：
• 被動電路：當時，比如電動勢是干電池，或者電路中沒有電源，電路中的電荷會趨于靜止
• 受迫電路：當時，比如電動勢是交流電源，強迫電荷運動

四，證明通解：

• 將化為
• L表示二階線性算子
• 證明1：是解

將代入原方程：

，

• 證明2：是所有的解

取任意一個方程的解

齊次方程的解：

和是所有常數中選出的特定值

五，區分穩態解和暫態解的條件：

• 一階常系數非齊次線性ODE：，k為常數
• 通解：
• 當時，是齊次方程，是它的通解
• （是的相伴方程）
• 非齊次方程的特解
• 當時，為穩態解，為暫態解（見第三講第七點）
• 當時，，無法區分

?

• 二階常系數非齊次線性ODE：，A和B是常數
• 通解：
• 當所有特征根都具有負實部時，為穩態解，為暫態解，如下表：

• 特征根	相伴方程的通解	通解趨于0的條件
  		，

  ?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第十二讲 二阶非齐次线性ODE解的结构的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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