一，從傅里葉變換到拉普拉斯變換：

• 傅里葉變換：
• 拉普拉斯變換：，其中為衰減因子，
• 為什么要在傅里葉變換中乘上衰減因子？
• 因為當非周期函數隨時間單調遞增或單調遞減，趨于無窮大（直男）時，無法使用傅里葉變換，如圖：?
• 因此給乘上衰減因子，使其在遠處逐漸衰減下來（被掰彎），就可以用傅里葉變換了，如圖（紅色）：
• 令，s表示拉普拉斯算子
• 拉普拉斯變換標準形式：
• 收斂域，如圖（紅色陰影部分）：
• 當時，的增長速度比不過的衰減速度，表示收斂（能被掰彎），就可以用拉普拉斯變換
• 當時，的增長速度超過的衰減速度，表示不收斂（不能被掰彎），無法用拉普拉斯變換

二，從冪級數到拉普拉斯變換：

• 冪級數：
• 計算機記法：，表示冪級數的系數
• 如果，那么為等比級數，，收斂區間
• 如果，那么
• 假設把離散的n變成連續的t，則冪級數變為，收斂區間
• 將更有利于微分和積分，
• 如果收斂區間（x不取負數是因為取負數會導致會出現虛數i），則
• 設，，換成，則：
• 這就是拉普拉斯變換
• t通常代表時間，s通常代表頻率

三，變換和算子的區別：

四，線性性質：

五，指數位移定律：

• 如果，那么

，前提：，（時變換不在收斂區間，因此無意義）

• 如果，那么

，前提：

• 指數位移定律：如果在拉普拉斯變換的左邊乘上指數，右側將向右偏移a
• 如果，根據指數位移定律，前提：

六，計算當時的拉普拉斯變換：

• 根據歐拉公式：
• 根據線性性質：
• 根據指數位移定律：，；，
• ，前提：
• 因為和是共軛復數，所以等于一個實數
• 同理：，前提：

七，計算拉普拉斯逆變換：

• 已知
• 部分分式：

兩邊乘以s：

設，則

兩邊乘以：

設，則

• 根據拉普拉斯變換的公式表：

八，計算當，時的拉普拉斯變換：

• ，
• 分部積分法：

，這是運用n次洛必達法則的結果

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第十九讲 拉普拉斯变换引入的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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