一，從傅里葉變換到拉普拉斯變換：

• 傅里葉變換：
• 拉普拉斯變換：，其中為衰減因子，
• 為什么要在傅里葉變換中乘上衰減因子？
• 因為當(dāng)非周期函數(shù)隨時間單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，趨于無窮大（直男）時，無法使用傅里葉變換，如圖：?
• 因此給乘上衰減因子，使其在遠(yuǎn)處逐漸衰減下來（被掰彎），就可以用傅里葉變換了，如圖（紅色）：
• 令，s表示拉普拉斯算子
• 拉普拉斯變換標(biāo)準(zhǔn)形式：
• 收斂域，如圖（紅色陰影部分）：
• 當(dāng)時，的增長速度比不過的衰減速度，表示收斂（能被掰彎），就可以用拉普拉斯變換
• 當(dāng)時，的增長速度超過的衰減速度，表示不收斂（不能被掰彎），無法用拉普拉斯變換

二，從冪級數(shù)到拉普拉斯變換：

• 冪級數(shù)：
• 計算機(jī)記法：，表示冪級數(shù)的系數(shù)
• 如果，那么為等比級數(shù)，，收斂區(qū)間
• 如果，那么
• 假設(shè)把離散的n變成連續(xù)的t，則冪級數(shù)變?yōu)?#xff0c;收斂區(qū)間
• 將更有利于微分和積分，
• 如果收斂區(qū)間（x不取負(fù)數(shù)是因為取負(fù)數(shù)會導(dǎo)致會出現(xiàn)虛數(shù)i），則
• 設(shè)，，換成，則：
• 這就是拉普拉斯變換
• t通常代表時間，s通常代表頻率

三，變換和算子的區(qū)別：

四，線性性質(zhì)：

五，指數(shù)位移定律：

• 如果，那么

，前提：，（時變換不在收斂區(qū)間，因此無意義）

• 如果，那么

，前提：

• 指數(shù)位移定律：如果在拉普拉斯變換的左邊乘上指數(shù)，右側(cè)將向右偏移a
• 如果，根據(jù)指數(shù)位移定律，前提：

六，計算當(dāng)時的拉普拉斯變換：

• 根據(jù)歐拉公式：
• 根據(jù)線性性質(zhì)：
• 根據(jù)指數(shù)位移定律：，；，
• ，前提：
• 因為和是共軛復(fù)數(shù)，所以等于一個實數(shù)
• 同理：，前提：

七，計算拉普拉斯逆變換：

• 已知
• 部分分式：

兩邊乘以s：

設(shè)，則

兩邊乘以：

設(shè)，則

• 根據(jù)拉普拉斯變換的公式表：

八，計算當(dāng)，時的拉普拉斯變換：

• ，
• 分部積分法：

，這是運用n次洛必達(dá)法則的結(jié)果

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第十九讲 拉普拉斯变换引入的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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