我個人認為麻省理工線性代數這門課，到二十一講才真正進入有用的部分，因此從這一講開始做筆記。

一，概念

滿足條件：Ax=λx

解釋：當向量x經過矩陣A變換后，效果等于向量x乘上任意常數λ

則：x是矩陣A的特征向量，λ是矩陣A的特征值

二，性質

性質1：如果A是奇異矩陣，且Ax=0，則x是0空間的非0向量，λ=0

注：奇異=不可逆=線性相關，非奇異=可逆=線性無關

性質2：λ的和=A的跡trace

解釋：A的跡trace表示，矩陣A對角元素的和

性質3：λ的積=det(A)

解釋：det(A)表示，A的行列式的值

三，求λ和x

把Ax=λx化為(A-λI)x=0，發現必須滿足：det(A-λI)=0

因為如果det(A-λI)≠0，則x只有0解（$x\equiv 0$），不存在特征向量

第一步：求出λ，通過det(A-λI)=0

二階矩陣的特征值是如下方程的解：
${\lambda }^2?trace(A)\lambda +detA=0$

第二步：求出x，通過(A-λI)x=0

注：用高斯若爾當消元法
特征向量之間必須線性無關，但不一定互相垂直

四，矩陣平移

(A+αI)x=Ax+αx=λx+αx=(λ+α)x，α∈R

解釋：α表示，矩陣A對角元素的平移量

如果Ax=λx，By=αy，則(A+B)x≠(λ+α)x，因為x≠y

解釋：特征向量不同，則特征值不能相加

五，90°旋轉矩陣的特征值是復數

$Q=\left[\begin{array}{cc}cos90°& ?sin90°\\ sin90°& cos90°\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& ?1\\ 1& 0\end{array}\right]$
計算特征值：${\lambda }_1=i,{\lambda }_2=?i$
實數特征向量只有0向量

性質1：如果一個矩陣具有復數特征值 a+bi 則，它的共軛復數 a-bi 也是矩陣的特征值
性質2：實數特征值讓特征向量伸縮，而虛數讓其旋轉

六，對稱矩陣和反對稱矩陣的特征值

對稱矩陣（$A^T=A$ ，具有伸縮性）的特征值是純實數
反對稱矩陣（$A^T=?A$ ，具有旋轉性）的特征值是純虛數
上面兩種是極端情況，夾在這兩種矩陣中間的矩陣（部分對稱或部分反對稱），特征值是實數和虛數的結合

七，退化矩陣的特征值

$A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right]$
計算特征值是相同的：${\lambda }_1=3,{\lambda }_2=3$
特征向量只有一個：$x=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$
沒有線性無關的另一個特征向量（退化了）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第二十一讲 特征值和特征向量的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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