一，非線性一階微分自治方程組的一般形式：
$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=f(x,y)\\ y^{\prime }=g(x,y)\end{array}$
等式右邊不顯含變量t
等式右邊是非線性函數(shù)（如三角函數(shù)、二次項(xiàng)）

二，例題（含阻尼的非線性擺）：

如圖，一根木桿繞定點(diǎn)o來回?cái)[動(dòng)，下端有個(gè)質(zhì)量為m的擺球，木桿長度為l，軌道是圓形。θ角是木桿和垂直方向的夾角。規(guī)定逆時(shí)針擺動(dòng)為正方向，θ角為正，順時(shí)針為負(fù)方向，θ角為負(fù)。
分析：
模型滿足方程$ma=F$
因?yàn)?#xff1a;$a={\theta }^{\prime \prime }l$，$F=?mgsin(\theta )$，F的方向?yàn)樨?fù)方向
所以：$m{\theta }^{\prime \prime }l=?mgsin(\theta )$
再減去阻尼線速度：$m{\theta }^{\prime \prime }l=?mgsin(\theta )?c_{1}l{\theta }^{\prime }$，$c_1$為常數(shù)
整理為微分方程：${\theta }^{\prime \prime }+\frac{c_1}{m}{\theta }^{\prime }+\frac{g}{l}sin(\theta )=0$
常數(shù)集總：令$\frac{c_1}{m}=c$稱為阻尼常數(shù)，令$\frac{g}{l}=k$
化簡微分方程：${\theta }^{\prime \prime }+c{\theta }^{\prime }+ksin(\theta )=0$
轉(zhuǎn)化為方程組：
$\{\begin{array}{c}{\theta }^{\prime }=\omega \\ {\omega }^{\prime }=?ksin(\theta )?c\omega \end{array}$
令c=1，k=2，得欠阻尼狀態(tài)：
$\{\begin{array}{c}{\theta }^{\prime }=\omega \\ {\omega }^{\prime }=?2sin(\theta )?\omega \end{array}$
第一步，找到臨界點(diǎn)（本身構(gòu)成解的點(diǎn)）：
設(shè)臨界點(diǎn)為$(x_0,y_0)$，意味著$\{\begin{array}{c}{x_0}^{\prime }=f(x_0,y_0)=0\\ {y_0}^{\prime }=g(x_0,y_0)=0\end{array}$
本例中$\{\begin{array}{c}{{\theta }_0}^{\prime }={\omega }_0=0\\ {{\omega }_0}^{\prime }=?2sin({\theta }_0)?{\omega }_0=0\end{array}$，在該點(diǎn)角速度和角加速度都為0，處于靜止?fàn)顟B(tài)
解方程組，得：$sin({\theta }_0)=0$，$\{\begin{array}{c}{\theta }_0=n\pi \\ {\omega }_0=0\end{array}$，n是整數(shù)
從物理的角度看，臨界點(diǎn)在圓形軌跡的最低點(diǎn)$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$和最高點(diǎn)$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\pi \\ 0\end{array}\right]$，最低點(diǎn)的臨界點(diǎn)是穩(wěn)定的（擺球從該點(diǎn)附近出發(fā)，時(shí)間趨于無窮時(shí)，擺球會(huì)接近該點(diǎn)），最高點(diǎn)的臨界點(diǎn)是不穩(wěn)定的（擺球從該點(diǎn)附近出發(fā)，時(shí)間趨于無窮時(shí)，擺球會(huì)遠(yuǎn)離該點(diǎn)）。
第二步，對(duì)每個(gè)臨界點(diǎn)附近，線性化方程組，并畫出軌跡：
當(dāng)在最低點(diǎn)$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$時(shí)：
線性化：當(dāng)${\theta }_0$是無窮小時(shí)，$sin({\theta }_0)\to {\theta }_0$
方程組變?yōu)?#xff1a;$\{\begin{array}{c}{{\theta }_0}^{\prime }={\omega }_0\\ {{\omega }_0}^{\prime }=?2{\theta }_0?{\omega }_0\end{array}$

矩陣化：$\left[\begin{array}{c}{{\theta }_0}^{\prime }\\ {{\omega }_0}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?2& ?1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]$
求特征值：
二階矩陣公式${\lambda }^2+\lambda +2=0$，得：$\lambda =\frac{?1\pm \sqrt{?7}}{2}$
$\lambda$是復(fù)數(shù)，說明圖像是螺旋。因?yàn)閷?shí)部$?\frac{1}{2}$是負(fù)數(shù)，所以大小會(huì)按照$e^{?\frac{1}{2}t}$縮小。因此螺旋是匯聚，不是源。
求螺旋方向：
將點(diǎn)$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$代入方程組，得該點(diǎn)速度向量$\left[\begin{array}{c}{{\theta }_0}^{\prime }\\ {{\omega }_0}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ ?2\end{array}\right]$，豎直向下
作圖：

物理含義：擺球從最低點(diǎn)附近開始，向最低點(diǎn)靠近，來回?cái)[動(dòng)，由于受到阻尼影響，擺幅越來越小，最后靜止。

當(dāng)在最高點(diǎn)$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\pi \\ 0\end{array}\right]$時(shí)：
線性化：
臨界點(diǎn)$(x_0,y_0)$處的雅克比矩陣：$J_0={\left[\begin{array}{cc}{f}_x& f_y\\ g_x& g_y\end{array}\right]}_0$

本例中，臨界點(diǎn)的方程組：$\{\begin{array}{c}{{\theta }_0}^{\prime }={\omega }_0\\ {{\omega }_0}^{\prime }=?2sin({\theta }_0)?{\omega }_0\end{array}$
雅克比矩陣：$J_0={\left[\begin{array}{cc}{f}_{\theta }& f_{\omega }\\ g_{\theta }& g_{\omega }\end{array}\right]}_0=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?2cos(\theta )& ?1\end{array}\right]$
這個(gè)雅克比矩陣就是線性化方程中的矩陣A：比如，當(dāng)在最低點(diǎn)$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$時(shí)，$J_0=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?2cos(\theta )& ?1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?2& ?1\end{array}\right]$

當(dāng)在最高點(diǎn)$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\pi \\ 0\end{array}\right]$時(shí)：$J_0=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?2cos(\theta )& ?1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& ?1\end{array}\right]$

矩陣化：$\left[\begin{array}{c}{{\theta }_0}^{\prime }\\ {{\omega }_0}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& ?1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]$
求特征值：
二階矩陣公式${\lambda }^2+\lambda ?2=0$，得：${\lambda }_1=1$，${\lambda }_2=?2$
求特征向量：
將${\lambda }_1=1$代入$\left[\begin{array}{cc}0?\lambda & 1\\ 2& ?1?\lambda \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right]=0$得：${\alpha }_1=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$，解為$c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]e^t$

將${\lambda }_1=?2$代入$\left[\begin{array}{cc}0?\lambda & 1\\ 2& ?1?\lambda \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right]=0$得：${\alpha }_2=c_2\left[\begin{array}{c}1\\ ?2\end{array}\right]$，解為$c_2\left[\begin{array}{c}1\\ ?2\end{array}\right]e^{?2t}$

通解：$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]e^t+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ ?2\end{array}\right]e^{?2t}$

作圖（按照第二十七講的方法）：

物理含義：擺球從最高點(diǎn)附近開始，由慢變快地向最低點(diǎn)下落。
第三步，將兩個(gè)臨界點(diǎn)的圖結(jié)合成大圖：
畫出每個(gè)臨界點(diǎn)的軌跡，并補(bǔ)充些軌跡。

物理含義：擺球從最高點(diǎn)附近開始，由慢變快地向最低點(diǎn)下落，如果力很大，就要轉(zhuǎn)好幾圈，然后在最低點(diǎn)附近來回?cái)[動(dòng)，由于受到阻尼影響，擺幅越來越小，最后靜止。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第三十一讲 非线性微分自治方程组及图解的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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